“行程问题”的解题方法与教学思考

倪方圆 吴希 郑嘉楠

摘要：“行程问题”是小学奥数中一大基本问题，常见的“行程问题”有相遇/相离问题、追及问题等，根据不同类型，结合实例，归纳数量关系，总结解题方法。产生教学思考如利用数形结合，理清数量关系;创设问题情境，注重算理教学;渗透发展小学生代数思维。

关键词：行程问题;解题方法;教学思考

一、“行程问题”的概念

“行程问题”是小学数学应用题中的重点也是难点，包括相遇、追及等数十种类型。按运动物体个数可分为一个物体的运动、两个及两个以上物体运动，按运动方向可分为相向、同向、背向。题型变化无穷，但实质不变，主要解决速度、时间、路程三个核心量的关系。这类题目理解难度不大，但是解题思路奇巧，解题过程灵活且有趣，本文试总结其解题方法，并探讨蕴含其中的教学思考。

二、“行程问题”解题方法

“行程问题”解题关键是找到速度、时间和路程的关系进行计算，本文根据不同的类型归纳解题方法。

（一）相遇问题

两个运动物体做相向运动，或在环形跑道上作背向运动，最终相遇的问题被叫做“相遇问题”。从相遇次数上分为一次相遇和二次相遇，从结果上分为求速度、求时间、求路程。

一次相遇实质是两人共同走了A、B之间这段路程，所以在这一类问题中，存在如下数量关系：A， B两地的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间。二次相遇问题的实质为第二次相遇时甲乙走的总路程是A、B两地路程的两倍，可得到数量关系：（A， B两地的路程）X3=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间。

（二）相离问题

相离问题与相遇问题的解题过程基本一致，只是运动方向为相背而行。这类问题中的数量关系为：两地距离=速度和×相离时间。上述两种行程问题，可以发现相遇（相离）问题中存在类似的数量关系，即：速度和×相遇（相离）时间=相遇（相离）路程。

（三）追及问题

两个运动物体从不同地点出发，也可从同一地点出发（如环形跑道），方向相同，快的追及慢的。这样的行程问题叫做追及问题，这类问题中一般存在这样的数量关系：速度差×追及时间=追及（或领先）的路程 。

解题关键在于找出距离差、速度差、追及时间中的两者，再根据数量关系求出第三者。例如题1：甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行;乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲？乙追及甲的路程是9千米，甲、乙两人速度差为5千米/小时，由“追及时间=追及路程÷速度差”求出追及的时间。

（四）过桥问题

过桥问题指一列火车通过一座桥/隧道，研究其车长、车速、桥长/隧道长，过桥/钻隧道的时间等关系的一类应用题。在这类行程问题中，需关注车长，行驶的路程一般为隧道长/桥长加车长。因此存在这样的数量关系：桥长+车长=路程;平均速度×过桥（隧道）时间=路程。解题关键在于在车长和参照点的长度关系中得到行驶的路程，再根据上述数量关系求解。

（五）行船问题

流水行船问题需要掌握的数量较多，除时间、路程外，还要注意船的顺水速度或逆水速度，静水速度，还有水流速度。要解答行船问题，需要掌握以下几个数量关系：船速+水速=顺水船速;船速-水速=逆水速度;（顺水船速+逆水船速）÷2=船速;（顺水船速-逆水船速）÷2=水速;顺水船速=逆水船速+水速×2。解决行船问题，关键是至少找到水速、净水速度、顺水速度或逆水速度中的两个，再根据上述数量关系进行求解。

三、“行程问题”中的教学思考

（一）数形结合——理清数量关系

行程问题涉及多个数量，且数量关系有时较为复杂，因此“画行程图”是帮助学生理清数量关系的好方法。运用数形结合的思想，将问题化抽象为具体。如在例题1追及问题中，可画出如图一的线段图，并从中看出甲追及的路程就是甲、乙前后相距的路程。

數形结合，巧妙地将文字表述转化成图形表述，从而使学生直观具体地感受题中的数量关系，符合小学生具体形象逻辑思维能力的特征。在进行这类题目的教学时，要先带领学生画图分析，直观感受行程问题中的特殊数量关系。理清数量关系后，再构建关系式进行求解，行程问题就能迎刃而解。

（二）问题情境——注重算理教学

小学生的抽象思维能力还不强，因此需要创设生活情境来帮助理解。以学生的原有经验和对生活的感知为基础，加深巩固学生对这三个核心数量及它们之间关系的认识，在具体情境中进一步理解行程问题中各个量的生活意义。

如题“乌龟和兔子两家在同一条直线上，相约同时从各自家出发参加森林运动会，乌龟每小时2千米，兔子每小时30千米，5小时后它们相遇。那么乌龟和兔子两家的距离是多少？”乌龟和兔子的方向是不定的，需要分类讨论，让学生意识到速度是具有方向的，要在具体的情境中了解各个数量的含义。因此教师要注重问题情境的创设，在实际情境中帮助学生理清算理，才能真正培养分析、解决问题的能力。

（三）用方程解——发展代数思维

小学生在相当长的时间里以算术思维为主，并向代数思维发展。代数思维的形成可以降低数学思考的难度，在解决行程问题时通过设置未知数，构建数量关系等式，解方程直接得出答案。

在小学阶段，算术方法和代数方法各有所长。但是教师在进行教学时，应有意识地发展学生的代数思维，利用线段图理解数量关系，构建等量关系列方程，引导学生建立代数思维。