三角形内一点观“四心”

马赛

【摘要】三角形是平面几何的基础，图形简单、内容丰富，包含着很多重要的性质和重要的定理，三角形的相关问题在高考中也是必考内容.平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此，对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要.

【关键词】重心;内心;外心;垂心;向量

三角形中的“四心”即内心、外心、重心、垂心，是三角形重要的特征点，是高考命题中的热点问题，本文以向量为载体，探索三角形内任意一点及四心与三角形的边、顶点、内角的关系，从而可以高效准确地解决相关的一类题型.

一、三角形“四心”的定义及性质

1.三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心.

性质：重心将中线长度分成2 ∶ 1.

2.三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心.

性质：内心到三角形三边距离相等.

3.三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心.

性质：外心到三角形各顶点的距离相等.

4.三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心.

性质：高线与对应边垂直.

二、定理证明

说明：以上二例如果运用平面几何知识，通过代数化简运算等处理方法都相当麻烦，通过本文的定理及推论来处理显得思路清晰明了、运算简洁，从而可以优化解题过程，并且提高了解题的效率和准确率.

本文通过一个定理四个推论的证明及其应用可以感受到向量作为一个重要的工具和载体，在解决平面几何问题中的重要作用，其实向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，具有丰富的背景，它是代数和几何之间重要的桥梁.三角形是平面内最简单而又最丰富的平面多边形，三角形的“四心”是三角形重要的特征点，以向量为载体研究三角形，自然通畅，相得益彰.而且通过本文，我们也可以感受到数学不同内容之间都有着千丝万缕的联系，使我們进一步地感受到数学之美.

【参考文献】

[1]蔡则富.三角形内任一点的坐标公式及其应用[J].中学生数理化（学习研究），2011（3）：2.