注重建模思维引领，培养数学核心素养

李思聪 张仕橙

[摘  要] 重视高中数学建模思维的引领，有利于学生有效积累数学思维活动经验，促进数学建模意识和数学建模能力的发展，提高解决实际问题能力，发展学生的数学核心素养. 文章在分析高中数学建模教学程序的基础上，探讨了高中数学建模教学策略，并以最为常见的函数模型构建为例进行了深入探讨.

[关键词] 高中数学;数学建模;思维

数学建模被列为六大数学核心素养，是学生在面对实际问题时，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种过程，在高中数学教学中注重建模思维引领，不仅能够增加活动和实践的机会，而且也能培养学生交流合作的能力和数学应用的意识[1]，因此，以建模思维为引领，探究高中数学教学具有重要的意义.

高中数学建模教学程序

1. 提出问题

为了达到明确提出问题的目的，教师应结合建模教学目标，了解问题的实际背景，有目的地收集所需资料，从中提取相关信息.

2. 量的分析

最大限度地将研究对象所涉及的量全部寻找出来，然后根据题意，利用数据处理方法，发现常量、变量等各个量之间的关系.

3. 模型假设

教师应在分析资料的基础上合理做出假设，简化实际问题. 值得注意的是，由于简化和假设方式的不同，其所获得的数学模型也各不相同，同时，在假设时不必考虑过多因素，否则致使模型过于复杂.

4. 模型建立

通过抽象概括等方式，建立起图形、方程组、不等式、函数、线性规划等框架结构. 在具体建立过程中，由于所采用的知识和方法不同，则会出现不同形式的模型，教师应按照尽量采用简单数学工具的原则，使得模型更具广泛性和应用性.

5. 模型求解

指导学生应用所学知识进行求解，对于求解过程中遇到的问题和困惑要及时向教师请教，多查阅相关资料进行求解.

6. 模型检验

督促学生把求解所获得的结论返回到实际问题中去，对所得模型进一步进行解释，若不符合实际，应重新进行修正.

7. 应用模型

为了增强所建数学模型的价值，教师应鼓励学生继续探究其使用范围，利用数学模型解决实际问题.

高中数学建模教学策略

1. 从教材入手，树立学生建模信心

在建模初始阶段，鼓励学生从利润最大、用料最省等建模素材入手，建立方程（组）或者函数模型求解，有效提高学生的自我效能感.

以人教B版必修1数学教材第72页为例，如表1所示，请根据表中的数据完成以下问题：

（1）做出散点图，建立拟合函数模型;

（2）利用函数关系式预测2003年我国生产总值.

该题虽然简单，但却体现了数学建模的主要思路，学生通过“师生合作——生生合作——学生自主探索”等过程，了解什么是数学建模、建模的基本步骤等，有效从心理上消除对建模问题的恐惧情绪，确实提高了学生的自我效能感.

2. 从实践出发，加强课堂内外联系

学生往往对建数学模题中某些术语不熟悉，例如，产量的翻番、比赛中单循环赛等术语，因此，教师应鼓励学生主动参加实践活动，将问题情境语言抽象概括为数学符号语言，强化书本知识与实际问题的联系[2]. 例如，要求学生和父母购物时，共同探讨商品的单价、售价和利润等实际意义，在父母去银行进行存取款时，探讨如何存款才能获得较大的收益.

3. 从问题出发，提高学生抽象能力

生活常识和专业术语较强、文字叙述冗长是数学建模过程中遇到的主要问题，这就致使学生很难将实际问题转化为数学问题，因此，教师应通过图形、表格等方面入手加强学生问题转化能力的训练.

例如，某生产商有甲、乙两种产品，其中每生产一个甲产品能够赢利6元，生产一个乙产品能够赢利4元，已知生产甲、乙产品需要经过a，b，c三道生产线，其中生产甲产品需经a，b，c生产线分别为2小时、4小时、5小时，生产乙产品需经a，b，c生产线分别为4小时、2小时、1.5小时，并根据现行环保要求，a，b，c生产线最多分别能够运行600小时、800小时、1000小时，请问：如何生产才能使得该生产商收益最大.

对于该类问题，相当数量的学生极易产生消极情绪，不能准确抓住题中数量之间的关系，因此，笔者利用如下表格组织学生发现数量之间的联系，有效将冗长的文字叙述转化为数学问题.

4. 重模型归类，积累学生建模经验

教师应按照教材模块，指导帮助学生建立函数、几何、概率统计、数列、不等式等5类模型. 例如，在高中数学人教版必修5模块学习中，教师应组织学生详细观察分析问题中出现的数量关系，探究指导学生建立相应的数列模型.

问题：为了有效治理某地区沙漠化的土地，某地质队对该区变化情况进行了实地调查，其调查结果如表3所示. 已知2009年底共有沙漠化土地9×105 hm2，若该地区不采取任何措施，则2020年年底沙漠化土地将会增加到多少平方米？

高中数学建模教学实践

仅有相关理论是不够的，高中数学建模思维的培养应该是理论与实践相结合，因此，笔者以最为常见的函数模型构建为例进行深入探讨.

1. 问题提出

如表4所示，及时呈现A市1930—2015年以来人口数量变化统计表，要求学生以小组为单位，根据所呈现的资料数据，预测A市2017年的人口数量并对比分析不同模型的精确性.

2. 量的分析

鼓励小组成员之间互相讨论交流，进一步明确建模的目的，并从年份和人口数量两个变量入手，探究两个变量之间的内在联系. 特别是对一些学困生而言，要及时给予引导，促使其主动参与实践.

3. 模型假设

人口数量的变化与众多因素有关，并且存在着大量的不确定性因素，为了使问题得到有效简化，由各个小组相互讨论可能影响人口数量变化的因素，并在此基础上做出以下假设：忽略流动人口数量的变化，该市人口数量的变化仅是由于生育或者死亡引起的，并且每一个人的生育或者死亡情况基本相同，不存在灾害、人祸等不确定性因素.

4. 模型建立

以年份为横坐标，人口数量变化为纵坐标，根据教师所呈现的数据描绘出可能的散点图，并根据所描绘的散点图寻找适当的拟合函数. 结合学生所学的知识和探讨的结果，主要从直线、抛物线、指数函数曲线进行探究.

5. 模型求解

基于以上分析，组织各个小组分别从直线、抛物线、指数函数曲线三个方面入手，求解函数的模型，并代入相关数据预测A市2017年的人口数量.

6. 模型检验

及时呈现A市2017年的人口数量，组织学生对比实验与实际数据，进一步分析三种模型之间的差异，其中直线模型是根据部分数据得出的，并且在学生选取点时各不相同，因此，精确程度相对较差. 而抛物线和指数函数曲线是根据全部数据进行预测的，相比较而言，指数函数曲线精确程度更为精确，并要求学生查阅相关资料，进一步了解人口数量变化函数.

7. 模型推广

为进一步巩固所学知识，及时呈现以下问题，要求学生思考哪种方案投资效益最高，并应用图示进行表示.

（1）第一天投資回报0.2元，以后每天的回报比前一天翻两番.

（2）第一天投资回报8元，以后每天比前一天多8元.

（3）每天投资回报30元.

总之，高中数学建模思维引领不是一蹴而就的，教师应从实际问题出发，应用学生所学知识，从不同的角度出发，建立不同的数学模型，并进行求解和验证，只有这样，才能促进学生有效积累数学思维活动经验，不断提高学生的数学素养，促进数学建模意识和数学建模能力的发展.

参考文献：

[1]  封平华，李明振. 高中数学建模教学策略研究[J]. 教学与管理，2013（4）.

[2]  李景龙.在中学数学教学中渗透数学建模思想[J].上海中学数学，2008（10）.