导数创新题追根溯源

■河南省太康县第一高级中学

高中数学考试说明中指出:培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径。

数学是思维的体操,解决问题是学生学习的目的,因而如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力,应是数学学习的中心问题。但过多地、盲目地刷题,不仅不会促进思维能力的发展,反而容易使学生疲劳,兴趣降低,抑制学生的思维。只有“闻一知十”地解题,才能激发学生浓厚的学习兴趣,促进学生思维能力的发展,而一题多解无疑是激发学生学习兴趣、开拓思路、培养思维方式和应变能力的一种有效方法。

下面通过2 0 1 8年全国Ⅰ卷第2 1题的几种方法的解答来体会一下一题多解的奥妙,希望同学们能从中得到一些启发。

题目已知函数f(x)=aex-lnx-1。

(1)设x=2是f(x)的极值点,求a的值,并求f(x)的单调区间;

分析：(1)推导出，由x=2是f(x)的极值点,解得从而,进而f'(x)=, 由此能求出f(x)的单调区间。

解：(1)因为函数所以

因为x=2是f(x)的极值点,所以,解得,所以f(x),所以

当0＜x＜2时,f'(x)＜0,当x＞2时,f'(x)＞0,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增。

所以当x≥1时,f'(x)≥f'(1)=ae-1≥1-1=0,因此当x≥1时,f(x)单调递增,所以f(x)≥f(1)=ae-1≥1-1=0。

跟踪训练：

1.(2019年新课标卷)已知函数f(x)=为f(x)的导数。

(1)证明:f'(x)在区间(0,π)上存在唯一零点;

(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥a x,求a的取值范围。

分析：(1)令g(x)=f'(x),对g(x)再求导,研究其在(0,π)上的单调性,结合极值点和端点值不难证明;(2)利用(1)的结论,可设f'(x)的零点为x0,并结合f'(x)的正负分析得到f(x)的情况,作出图示,得出结论。

解：(1)因为x,所以

又g(0)=0,g(π)=-2,所以g(x)在(0,π)上有唯一零点,即f'(x)在(0,π)上有唯一零点。

(2)由(1)知,f'(x)在(0,π)上有唯一零点x0,使得f'(x0)=0,且f'(x)在(0,x0)上为正,在(x0,π)上为负,所以f(x)在(0,x0)上递增,在(x0,π)上递减,结合f(0)=0,f(π)=0,可知f(x)在[0,π]上非负,令h(x)=a x,作出图像,如图1所示,因为f(x)≥h(x),所以a≤0,所以a的取值范围是(-∞,0]。

图1

点评：此题考查利用导数研究函数的单调性、零点等问题,以及数形结合的思想方法。

解题方法点拨：在理解极值概念时要注意以下几点:

(1)按定义,极值点x0是区间[a,b]内部的点,不会是端点a,b(因为在端点不可导)。

(2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可。要注意极值必须在区间内的连续点取得。一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小。

(3)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值。

(4)若函数f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的。

(5)可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点。