极端原理在函数最值问题中的应用

雷慧华

【摘 要】极端原理是解决数学问题的重要原理，而函数是中学阶段的重难点内容，其中涉及许多与极端原理有关的问题。本文阐述了极端原理含义、并通过具体例子说明极端原理在函数最值中的应用。

【关键词】极端原理;函数;最值问题;应用

一、极端原理的由来与具体内容

何为“极端”？于数学之中即为在满足题意下的特殊情形，比如最大最小值等。那么什么是极端原理呢？极端原理的具体内容如下：

原理1：设M是由自然数组成的集合，不论M是由全体自然数组成的，还是由一部分自然数组成的。即不论M是由无穷多个自然数组成的，还是由有限个自然数组成，则M中必有最小数。

原理2：设T是由有限个实数组成的非空集合，则T中必有最大数，也必有最小数。

上面两个原理的内容十分简单，却给我们解数学题提供了十分有用的工具和原则。

二、极端原理在高中函数最值中的应用

函数是高考的重点考察内容，许多实际应用题都涉及“最大最小值”“费用最多最少”等问题，这些都可通过极端原理的思想方法解决。

例1：南宁市某地产商计划用810万元入购一块空地，在该地上建造一栋至少8层、每层1000平方米的楼房。若是将房子建为x（x≥10）层，则可得到平均建筑费用为每平方米364+81x（单位：元）。使楼房平均综合费用最少，那么该楼需要建多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用÷建筑總面积）

因此，将该楼房建为10层，平均综合费用最少。

小结：极端原理的思想即为找到问题中的最特殊情况，于本题就是找到费用最少又符合要求的价格，所以本小题主要考查建立函数关系式，即函数模型，求函数最小值的方法。题目看起来背景复杂，读到最后会发现平均综合费的函数关系式在注释里已经给出，只需将数值代入即可。

小结：导数是近几年高考的热点，其解法值得关注。而同时涉及到极端原理的思想，第一问中求出k值就是运用极端原理寻找特殊存在，此时，特殊存在是不建造隔热层，即x =0，从而求解出k值。对于第二问，极端原理的运用已十分明显，即为求出两种费用之和最小值。

小结：本题求线段之和涉及了极端原理思想，此时的极端情形即为线段和的最大值问题，对于解法一，因图形已经给出了，根据数形结合思想可以考虑，将求线段最大值转换为求角度的特殊情况，最后再转回线段长度问题得以求解。

综上所述，极端原理求最值的思想方法对于解决函数实际问题十分有效，并且极端原理还可运用于解决各类数学问题中，比如方程问题、立体几何问题、数列问题等，所以掌握极端原理思想是很有必要的。

【参考文献】

[1]马伟.极端原理在解题中的应用[J].科学教育，2008（09）

[2]王连笑.极端原理与解题[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社