数学建模视角下三角计算及应用问题的案例研究

马秀伟

摘要：数学建模是将抽象简化的数学模型应用于解决实际问题的一种解决问题的思维模式，也是一种解决实际问题的工具。本案例本着以学生为中心，以实例为基础，以培养学科素养为目标的教学理念，将数学建模的思想融入于三角计算解决实际应用题。案例研究体会数学建模的全过程，强化数学建模的应用，借助适当的信息化手段，集中精力进行数学建模思维的训练，既减轻了学习三角计算应用的负担，又提升了建模的魅力，将数学理论与实际进行了有机的结合，为数学理论知识指导实践找到了有效的路径。

关键词：数学建模;三角计算;案例

一、引言

数学建模概括的说就是对现实问题进行简化抽象为数学模型，人们通过对问题的深入研究、了解问题的具体信息、对问题做出客观的简化假设、分析问题的内在规律，用数学的符号和语言建立数学模型，对实际问题做出表述，从而达到对实际问题进行定量地分析和研究的目的。

三角计算在数学教学中具有十分重要的地位，是数学学科与诸多工科专业学习内容的基础，其内容具有如下几个特点：第一，涵盖内容较繁杂，包括两角和与差的余弦公式与正弦公式、二倍角公式、正弦型函数、正弦定理和余弦定理等概念;第二，三角计算知识是电类、机类、建筑类等学习的必备知识，具有较强的应用价值。其在教学中要本着“以服务为宗旨，以就业为导向”的教学理念进行教学设计，要跳出数学的基础学科体系，尽量本着密切结合生产实际、解决实际案例问题的思想进行教学。

二、三角计算及应用问题的数学建模案例

受众学生为机电技术应用专业中职二年级学生，传统数学对于他们而言显得枯燥无味，但专业学习中经常遇见数学问题，需要贴近专业的数学。本着通过教学让学生掌握锥角与锥度的数学概念及运算、掌握板材下料的计算，能够应用数学建模的方法解决机械加工中的典型案例，同时有助于强化学生应用数学视角解决现实问题的意识、培养创新精神的目的，对数学建模进行简化为五个环节，将数学模型与机械加工问题有机融合，为三角计算应用注入活力。

（一）案例一轴承锥角计算

聚焦问题（模型准备）：学生观看视频，了解轴承应用领域;从卡车车轮圆锥轴承入手，通过三维交互动画，剖析结构，将实物转化成截面图形;下发“学案”介绍数学建模的方法及“六步”的含义，根据数学建模理念进行解决实际应用题。

合理假设（模型假设）：设定轴承截面图为轴截面。

合理假设（模型建立）：此环节借助三维交互动画，呈现三角模型建立过程，明确锥度、锥角、圆锥台上、下端直径及高的含义，破解学生难以将实物抽象成数学模型、确定数学参数能力不足的教学难点。

推演公式（模型求解）：

（1）建立圆锥台圆锥角的平面几何关系图，给出相关参数的概念：圆锥台上底圆的直径为D、下底圆的直径为d、高为L;

（2）进行模型求解：推导出圆锥台的锥度定义式，找出圆锥台圆锥角与D、d、L之间的关系，建立关系式。

锥度是指圆锥的底面直径与锥体高度之比，常用字母C表示。如果是圆锥台，则为上、下两底圆的直径差与圆台高度之比值。

在角 所在的直角三角形中，得出关系式

理性回归（模型分析）：组织学生梳理关系式，剖析参数由来及相互关系，应用CAD Models展示参数变化对轴承的影响，通过推演公式、理性回归两步，完成教学重点的学习。

案例应用（模型检验）：完成学案中轴承外圈计算，依据结果应用3D打印技术，打印出圆锥轴承外圈模型，与内圈进行匹配，体验原型检验，完成验证题目。

（二）案例三板材下料问题

聚焦问题（模型准备）：展示动画“板材下料”，了解铁板焊接的下料方法;下发“學案”，让学生依据数学建模步骤解决实际问题。

合理假设（模型假设）：两块宽度不同的铁板，要对接焊接成固定角。

合理假设（模型建立）：完成“两块宽分别为a、b的铁板，对接焊接成θ角，如何下料”的平面几何图。

推演公式（模型求解）：在Rt△ABD和Rt△ACB中，设AB的长为m，则

理性回归（模型分析）：当焊接角度一定的情况下，假设两块板材的宽度

a〉b，那么

（1）板材宽度值越大切割后对接的角度越大，反之越小;

（2）当两块板材的宽度越接近相等，对接角度越接近。

案例应用（模型检验）：

将模型分析结果与实际情形进行比较，通过实际应用题目来验证模型的合理性、准确性及适用性。

三、结束语

将数学建模的思想融入到三角计算解决实际应用题中，不仅帮助学生化解了单纯学习三角计算知识的枯燥无趣、培养了学生学习的兴趣;同时也破解了学生运用三角知识解决实际问题的难点，较好的掌握了灵活运用三角计算解决应用题的思维方法。学生通过积极参与数学模型的准备、假设、建立、求解、分析、检验六个步骤的思维过程，强化学生数学建模思想、培养学生形成数学智慧;数学建模这一工具的应用培养了学生概括抽象问题的综合能力，处理不同问题的应变能力，提升了解决实际问题的自信心。

参考文献：

[1]陈小娥，谢应善.职业院校数学建模模式的研究与探讨[J].甘肃科技纵横，2017，46（11）：57-59.

[2]王泽龙，朱炬波，刘吉英.数学建模在概率论与数理统计教学中的应用[J].高等数学研究，2019，22（1）：115-117.