澳大利亚小学数学教材中分数的不同意义及教学

◇鲍 磊

在日常生活中，我们对分数的了解，可能是从切水果、分蛋糕开始的，将苹果或者蛋糕切成两半，一半就是二分之一。二分之一就是用来表达这个特定的量的一个数。 对于分数的基本概念，例如苹果的一半，甚至蛋糕的四分之一，很多低年级的学生都能理解。在小学阶段，学生在学习分数之前， 他们先学了整数，由于学生会本能地使用以前学过的知识去认识和理解新的知识，所以在学习分数的时候经常会与一些整数的概念和运算方法混淆。而且，分数的概念有多种不同的含义，使学生在学习分数的道路上出现了种种困难。因此，对于老师来说，弄清楚分数的不同意义是教学成功的基础。

一、澳大利亚小学数学教材中分数的不同意义

凯伦（Kieren）指出了分数的5 种不同意义：部分与整体，商，测量，运算以及比[1]。

（一）部分与整体。

部分与整体是分数中最常见的解释。部分与整体的解释可以是把连续数量（比如面积、长度和体积模型）或一组实物划分为大小相等的部分或者集合。在澳大利亚，对于分数中部分与整体的概念的介绍从二年级就开始了，然后逐年循序渐进地增加不同的内容（如下页表1）。

（二）商。

分数也可以表示除法的操作或者除法的结果， 比如5 个小朋友一起平均分享3 个比萨饼，我们可以写成澳大利亚的数学课程标准中没有在分数的部分直接列出这个含义，而是在乘法和除法的内容里进行了详细介绍。很多澳大利亚五六年级的老师在教学分数时都会包含商（平均分）这一重要内容。

（三）测量。

分数可以表示相对于某数量的一个单位的测量结果。测量解释与其他构造不同, 因为单位中相等部分的数量可能因分的次数而异。 这种连续的分成小的等份使之精确地被“测量”。比如， 把准确地放在有1 个单位的数轴上和相同长度有2 个单位的数轴上， 它所表示的长度是不一样的（如图1）。在澳大利亚，从四年级开始， 学生就被要求把简单的分数准确地放在数轴上并且利用数轴去理解假分数和带分数，到了五年级学生就需要利用数轴去比较单位分数（如下页表1）。

图1

（四）运算。

分数运算的意义是与分数的乘法和除法相关的。分数运算的意义涉及两个不同事物之间的关系或者同一事物之间数量关系的放缩。在澳大利亚的小学阶段，只要求学生计算一个数量的几分之几（这个数量与分母相除的商没有余数），例如， 24 的是多少？（如表1）

（五）比。

比可以解释成两个数量的相对关系或者看成分数中一部分和另一部分的比。这个概念并没有包括在澳大利亚小学阶段的数学课程里。

表1 澳大利亚小学阶段的分数学习进程

二、“分数的概念”的教学

在“第二届两岸‘温清’小学数学教学与研究暨中澳比较教育论坛”的活动中，我用澳大利亚教材上的内容给国内的小学生上了一节三年级分数概念的课。这节课主要是围绕分数的部分与整体这个意义展开的，由于国内的学生三年级才接触分数， 所以我选择了这个最简单和最常用的分数概念让学生深刻体会部分与整体的含义以及分子1 和分母2 的含义。我觉得清晰理解部分与整体的关系会帮助学生以后更好地理解分数的其他几个意义。

课堂上， 我把事先切好的半个苹果展示给学生，并问：请问同学们，我手上拿的是什么？

很多学生大声回答：苹果！

我接着问：能不能具体一点？

一个学生回答：半个苹果！

我继续问：“我们今天会学什么？” 学生们有点摸不着头脑。接着，我又把半个橙子给他们看。有几个学生就说：“一半！” 然后我再把半个圆给学生看并问：“现在，你们可以确认今天要学什么了吗？”学生齐声说：“分数！”

为了加强学生对于部分与整体的理解， 我设计了例1（如图2），有8 个图，把这些图给学生，让他们把表示的图找出来。这些图，有的是二等分，有的是三等分，有的是四等分，也有两个不等分的图， 目的是想让学生知道在部分与整体这个概念中等分的重要性以及部分与整体的关系。

图2

生：3 份。

我：很好，那阴影部分是几份？

生：1 份！

我：好，那这个阴影部分到底是这整个图形的几分之几？

没有学生选图C 和G， 我就问：“你们为什么没有选图C 和G？”

另一个学生说：“图C 和图G 中的两个部分都不相等，所以这两个图的阴影部分都不是

生：2 等份。

我：阴影部分有几份啊？

生：1 份。

生：有的是3 等份，有的是4 等份。

生：有的不是等分。

接着，我给了学生下面的例题（如图3 ）。

图3

很多学生举手回答：两个阴影部分一样大！

我：（好奇地）为什么呢？你们有什么根据吗？

我：其他同学有没有不同意见？

生：没有。

我：非常好！我很高兴你运用了正方形的一半这个概念确认两个阴影部分都是正方形的我想问一下，你们从这两个图中可以总结出什么经验吗？

学生思考了一段时间， 其中一个学生说：“等分中，形状可以不一样但是大小是一样的。”我们都为他鼓掌。最后，在总结这堂课的时候，我需要确认学生弄清楚的概念，特别是部分与整体的关系，所以我出示了一道题（如图4）。

图4

前面两道例题是部分与整体都呈现在学生面前的，这道题①和②只给了1 等份（部分）。在①中，学生就利用部分与整体的关系，通过不同的尝试，找出了不同的整体：长方形、等腰三角形、平行四边形等。在②中，学生知道一半（1 份）是4 个点，那么2 份就是8 个点。

分数概念的引入是分数教学的重要一步，其教学成败会影响到学生对分数概念的理解、认识和掌握。在这堂分数概念的课里，我参照澳大利亚教学大纲中小学阶段分数学习进程（见表1），用一些图形让学生掌握这个最简单、最基本的概念，再让学生从已有知识和经验中，去领会部分与整体的关系， 去认识等分在分数中的重要性。 利用图形表示分数是小学阶段常用的方法，图形是将抽象的分数概念具体化的一种有效的工具，学生可以通过观察图形，思考，分析，比较，积累经验，从而能将抽象的分数概念逐步建立。

除教学内容之外， 在上这节课的过程中，我发现与澳大利亚的孩子相比，国内的孩子并不善于把自己的思路或者思考的详细过程写下来，很多学生只追求答案。在引入分数的概念时，我们应提供机会让学生运用数学语言将思维过程表达出来，包括用说、写和图表等不同的表征方式去解释结果、简述解决或探究问题的方法等，以便于他们把自己的思考方法用文字记录下来，这样也会加强他们的逻辑推理能力。