一般代数方程历史及其数学思想评述

何小琴

摘 要：本文主要讲述了一般代数方程从古至今的历史及其发展，以及对代数方程解法的数学思想，另外介绍了历史上一些伟大的数学家，包括Lagrange，伽罗瓦，鲁菲尼，高斯等，以及相应的数学思想置换，划归等数学思想的发展，并对代数方程的求解历史进行探究，从一元一次，一元二次到后来的一元五次及五次以上方程解的发展。

关键词：代数方程;发展历史;Lagrange;伽罗瓦;预解式

一、一般代数方程的发展历史

古代时期对方程理论已经有所发现，对方程思想的记录也有很多，其中比较古老且富有价值的便是1899年在河南发掘的殷商文字，即甲骨文，就有计数符号流传，除此之外，还有钟鼎文或叫金文。其实，方程在古老的春秋战国时期就已经有符号的记录，关于方程、开方等在著名的《九章算术》中有详细的记载。虽然对于方程的起源的具体时间难以探索，但我们仍能找到古代对方程的记载，对方程的发展能带来很大的帮助。

在秦汉时期，方程思想开始了最初的发展阶段;在魏晋时期，方程思想快速发展;在宋元时期，方程思想发展达到高峰期，这些发展阶段都是以《九章算术》为基础，通过对《九章算术》的修改和整理，使得方程论不断发展，由于《九章算术》经过修订后仍存在许多弊端，在此基础上，刘徽注了《九章算术注》并对方程的解法提出了更简单的方法，他提出直除法，是古代解方程最简单也是最早的方法。

到公元1000年左右，一元一次和一元二次方程的解法大多数人都可以很好的掌握，而一元三次、一元四次代数方程的求解则相对复杂，最早出現三次方程都是通过查表法解决，最早公开发表三次方程的求解方法、求根公式和几何验证其解法的是卡尔达诺，在卡尔达诺的《大法》中也包括了费拉里求解四次方程的方法。

在代数方程的求解发展过程中，有很多数学家都做出过贡献，其中较突出的一位是法国的Lagrange，他使代数方程的求解发生了巨大的变化，他指出解原方程的辅助方程是非常重要的一步，因此在解四次方程的时候，如果一个三次的辅助方程能预解出，那么就可解原四次方程，原方程的解可以通过解辅助方程来顺利得到，这就是用置换的思想进行代数方程的求解，这是伟大的数学家Lagrange提出的，预解式的概念也由此提出来。

许多的代数学家都被Lagrange对于方程求解的理论影响，这为他们研究代数方程的求解做了很多铺垫，是代数方程发展的基石，从而让代数方程更好地发展起来，比如著名的数学家高斯，另外还有鲁菲尼对于高次方程没有根式解发表多篇文章.Lagrange只是提出了求解理论，但并没有取得任意次方程的解，而五次代数方程是没有一般解的，这是由数学家鲁菲尼提出来的，这是他通过分析证明得到的，鲁菲尼的宣告的可靠性遭到了很多数学家的质疑，一般根式解是否不能存在于五次代数方程中，大家对代数方程求解的思考正是由于这些数学家而被推动了，去解五次及五次以上的方程不再是数学家们一味研究的事情了，而是去思考代数方程的解是否存在的问题，他是在吸收了Lagrange的大量工作后，得出来的一系列的结论，所以在前人的基础上进行研究能帮助数学更好地发展。

二、一般代数方程数学思想及其评述

在三次、四次代数方程可求解之后，数学家们就开始了更高次的代数方程的求解，在提出高次方程的根式求解之后，数学家们都致力于求高次方程的根式解，而并没有思考这种方程是否有根式解，所以他们对于五次方程的求解都失败了，直到后来，伟大的数学家Lagrange把置换的概念引进了代数方程的求解，置换的概念对代数方程的根式解问题非常重要.[6]

在Lagrange的影响下，高斯给出了特殊方程分圆方程的根式解，虽然他们的结论受到了很多人的否定，但是也推进了代数方程求解的发展，置换思想在鲁菲尼的证明中起着非常重要的作用，但他的证明并不完整，直到阿贝尔做了一些新的证明，并得到了阿贝尔定理，阿贝尔的工作是对鲁菲尼的工作的修正和补充，这种重要的思想用在了他对高次方程的根式解证明中，收到了很好的效果，继承了Lagrange转化的思想后又有了伽罗瓦理论，把预解式的构成同置换群联系起来，突破了前人的传统，在观念上发生了根本的变化。

转化和划归的思想就是将问题由难化易，从而使问题简单化，便于我们求解，在代数方程的研究中，转化和划归的思想无处不在，划归即是一种重要的数学思想，也是一种重要的思维方式，代数方程涉及的知识点较多，最重要、最基本的数学方法之一就包含了划归思想方法，它对于揭示联系、实现转化很重要，并达到问题的规范化，常将不熟悉和难解决的问题转化为易知的问题，将抽象的问题转化为具体直观的问题，从而将实际问题转化为数学问题。

三、结束语

本文主要研究的是一般代数方程的历史及其部分数学思想，首先运用文献发，对一般代数方程理论的发展进行了梳理，然后对一般代数方程的历史进行数学家在解代数方程中的数学思想进行了相关的说明，最后针对代数方程在数学中的重要性进行介绍，认识到一般代数方程的数学思想在实际的解题中的广泛运用，并且介绍了不同历史时期伟大的数学家对一般代数方称求解过程中做出的贡献。

通过本次课题研究，对课程相关资料的收集调查，加强了我的学习知识，拓展了代数方程数学思想在数学领域中的应用，使得更容易把实际问题转化为数学问题，并易于把理论知识灵活地运用到实际问题的解决中，提高自己解决问题的能力，为今后的工作和学习打下了坚实的基础。

参考文献：

[1]杨文杉.谈中国方程式理论的发展史[M].中教研究2017.3.

[2]赵增逊.数系发展对代数方程的影响[M].陕西：陕西铁路工程职业技术学院2011.11.

[3]李文林.数学史概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000：1-31，74-75，126-130.