说错——提高学生数学自我反思能力的个案研究

陈青锋

摘 要：“说错”，本文特指在数学教学中，提供一定的条件和机会，让学生能够主动地把自己或他人的错误说清楚、弄明白，形成一种内在的学习反思机制。本文是我针对研究对象瞿x x——一个课堂上善于动脑，回答问题积极踊跃，但是在做作业时经常出错，考试成绩也不理想的学生，通过采用恰当手段，让其大胆“说错”，然后深析错误因素，选择相应的说错形式，从而引导研究对象进行“反思”训练，促进其思维向纵深发展，取得了较好的成效。通过这个案例研究，本人在反思我们的数学教学中如何让学生从“错误”走向“正确”，在不断的反思探索中提出了一些自己的想法。

关键词：说错;反思;数学课堂

一、研究的缘起：一个学生个案带来的思考

瞿x x：808班的男生，活泼可爱，课堂上善于动脑，回答问题积极踊跃，是任课教师喜欢的那种学生。但是在做作业时往往错误百出，有些低级错误还令老师啼笑皆非，如计算时数字抄错、负号在上面式子有抄到下面就没有了、题目没理解的情况下就盲目答题、思维不够严谨等等错误总是离不开他，考试成绩也不理想。

1、课堂上反应迅速

【案例1】在学习数轴时最后我放了这样一道思考题：

电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳一个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤在数轴上的点K100所表示的数是30，求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数.

大部分学生看到这个题目后感到困惑，开始埋头苦做，当其他同学还在思考时瞿x x却举起了手：我知道，-20。师问：你怎么想的？

瞿x x：跳两次相当于向右移动了一个单位，所以跳100次就是向右移动了50个单位，最后所表示的数是30，所以原来的数就是30-50 = -20。

点评：从本例可以看出瞿x x在上课时思维还是很灵活的，很多时候当同学们还在沉思时，他已经想出了答案，而且方法也灵活。笔者从其他老师处了解到，在别的课堂上他也是一个回答问题积极踊跃的学生。而且很愿意说，喜欢表现自我。

2、碰到难题时喜欢依赖别人

【案例2】一节数学课上，我出了这样一道问题：蜗牛沿着10米高的树往上爬，每天从清晨到傍晚向上爬5米，夜间又下滑3米，像这样从某天清晨开始，蜗牛几天爬到了树顶？

瞿x x不一会儿就转来转去和同学在讨论了，我估计他已经得出了答案（应该是一个错误答案），不出所料，我过去后他就兴致满满地和我说了，老师答案是5天。我说他错了，再想想。他还不相信，一直和我解释“清晨到傍晚向上爬5米，夜间有下滑3米”，相当于一天爬上2米，5天怎么会错呢？自己不肯再思考了，一定要我快点告诉他答案。

点评：瞿x x在学习上依赖性较强，稍遇到困难就退缩。我也从他家长处了解到小学时在家总是要求父母帮其审题，不喜欢独立完成学习任务，必须由父母陪着读、写。做完作业由爸爸负责检查正误。到了初中后发现他虽然自己会去思考问题，但思考问题欠深入，碰到困难后喜欢别人直接告诉他答案，不喜欢自己独立去解决困难，不会在错误中学会反思，找到正确答案。

3、独立作业时错误百出

【案例3】批到瞿x x的课堂作业本，经常是错误百出。有理数比较大小时，期中有这样一道作业题： “若a表示一个有理数，请比较a与-a的大小”， 瞿x x的答案：a>-a 。课间我问了他的想法，瞿x x说：a是一个正数，那-a就是一个负数了，所以a>-a。我再问了下：题目有跟你说a是一个正数吗？他这才恍然大悟……

点评：独立作业时，瞿x x总是错误百出，在学习中总需要老师督促才会去反思。当老师引导其找错误时，他总会发出惊叹“啊！我怎么会没想到”。瞿x x缺乏数学当中思维的严谨性，对自己的学习缺乏必要的反思，導致在学习或作业时思维比较单一、不深刻，解题正确率不高。

孔子说：学而不思则罔，思而不学则怠。勤于思考、善于反思对于求知是多么的重要！通过不断的实践，笔者发现，在纠错过程中，经过学生口头争辩后改正的错误，一般就不会再在这些学生身上出现。由此我意识到，经过学生主动“说错”， 把自己或他人的错误说清楚、弄明白，可以建立起学生内在的学习反思机制，使其内隐的知识与能力储备通过“对话”方式，逐步显现出来。

新课程是一次新的教育变革，它与旧课程的核心区别就是要让学生被动的学变为主动的学。在新课程的实施中，几乎每位老师都在适应。但在我们的数学课堂中，还是普遍存在着这样一个现象，就是题目我们已经讲了好多遍了，学生做起来还是照错不误。这个问题让很多老师都在探索“路在何方”。针对这种现象，我在尝试着让学生自己能够大胆地说出自己的错误想法，然后引导其对错误进行反思，促进其思维的纵深发展。从去年开始我选择了一个代表性的学生瞿x x，对其进行跟踪性教育，让其“说错”，在“说错”中反思。

二、解题错误原因分析

1.眼高手低，没有良好的学习习惯

有的同学自我感觉很聪明，平时就不愿意做简单的题目，基本都是看一下，大概感觉做得出，然后就把答案抄上去了，而难的题目却又做不出，然后也是看看答案，大概懂了也把答案抄上去了;最终导致考试时简单题目做错，难的题目就根本做不出;而由于没有良好的学习习惯，平时就会出很多偶然性错误，考试时也就不例外了，偶然也有其必然。

2.对知识点偏重于记忆而不是理解

为了应付考试，很多同学都是临阵磨枪，考前突击，也只有背背公式，考试的时候就会感觉没有用。殊不知，数学是一门理解的学科，任何一个知识点都需要我们去认真理解分析，找到其本质的东西，记忆也是建立在理解的基础之上的，而我们要学的也重在过程，所以在平时的学习，不能仅仅是记住公式，更重要的是记住这些公式的来龙去脉。这样也就能达到把厚书读薄的效果。

2、深析错误因素，选择相应说错形式

要设计一个说错的思维程序，首先要对錯误进行分类处理。只有在对错误作出科学的、成功的分类之后，我们才能清楚该怎样“说错”。根据一段时间的调查分析，笔者把瞿x x所犯的错误分为两大类，一类是对于概念与操作性错误，另一类是思路性的错误。根据不同类型的错误，笔者提出了不同的说错形式。

（1）自我诊疗式

概念与操作性的错误，学生可以随着学习进程的发展自我诊疗，教师要为学生提供自我诊疗的机会。 “诊断”出自己的错误所在并不是最终目的，学生必须对“错误”进行自我重述或说给同桌听。通过说错误来强化错因，从而达到“治疗”的终极目标。

【案例7】在教学完全平方公式时，有这样一道习题：计算（x+2y）2 ，瞿x x的答案x2 +4xy +2y2，我走进提醒他这个答案错误，请他翻书寻求错因。一会儿见他一拍脑袋“公式用错了，我没把2y的系数2进行平方”，等他订正完毕后，把错误再次重述给自己听，当然我也在一旁听着。

案例中瞿x x独立发现错误的过程是学习的第一次反思，有助于他对数学运算定律的正确理解。改正错误是学习的第二次反思，它有助于对数学运算定律的深层理解，达到触类旁通、举一反三。让其对自己的错误所在重述给自己听的过程则是学习的第三次反思，通过说达到比较、归类、整理的目的。通过这个过程，那他以后基本就不会再犯类似错误了。

（2）同桌互诊式

当题意理解错、条件认识不足时，学生往往不能独立找出错误的诊结所在，这时可以通过同桌合作达到诊疗的效果。“同桌互诊”是指在相互倾听中辨析正误，在质疑中反思过程，最后在互述错误中治疗。

我一开始为瞿x x找了一个思维较严密、能深入思考问题的学生作为同桌。经过一段时间的差异性诊疗，瞿x x已经明白的自己不足，为了不使其产生自卑感，一段时间后将瞿x x的同桌调整为一个与之类似的学生。

【案例8】题目——“小明爸爸要到武汉出差一个星期，买了一张今天12：15从杭州开往武汉的火车票，从小明家到火车站要花40分钟，小明爸爸几时从家出发比较好？”瞿x x的答案是11：35从家出发，同桌答案是11：25。我让两人都说了自己的想法。我又提醒道：“你们认为11：25出发合适吗？”经我一点拨，两人又开始沉思了。瞿x x马上叫到“如果刚好12：15到火车站门口，那小明爸爸还没进火车站，火车已经开走了，对应再提早一些时间来。”听他一讲，同桌也点点头。最后要求他们把自己错误所在讲述给同桌听以达到诊疗的效果。

（3）众说纷纭式

“众说纷纭”是教师把错误抛给学生，引导他们从正反不同角度去修正错误，给他们提供争论的时间和空间，让其在辩论中，思维发生碰撞，观点得到交流，从而让学生在争论中明理，在争论中内化知识。众说纷纭式一般可分为自说 、对说、补说、重述四个环节。

【案例9】在教学《平方根》时有这样一道习题：求 的平方根;自说;瞿x x举手回答：±4（此时另外已经有同学在窃窃私语了），我先让其他同学安静，请他说说自己的解题思路。瞿x x说完后我让另外有意见的同学都阐述了自己的想法，这个过程就是对说、补说的过程。在“众说纷纭”中瞿x x能不断深入剖析题意，寻求正确的解题思路，整个“众说”过程能紧密围绕寻找“错因”展开，在反思中激活学生的“说错”愿望，促使其产生高质量的思维碰撞。最后就是瞿x x的重述环节，把这道题目的正确思路再说一遍。

在实际教学中说错形式可以是多种多样的。针对某种错误并不局限一种说错方式，学生的错误是纷繁复杂的，教师应灵活应用，引导学生有效反思。

四、成效显现

“说错”让瞿x x在学习中形成了一套自己的学习策略和方法，体验了成功的愉快。七年级第一学期的期末数学考试成绩是71分，低于平均分4分，七年级第二学期期末成绩是84分，超过平均分7分。在提高解题能力的同时，瞿x x的口头表达能力、抽象思维能力、分析能力也跟着提升。

下面结合笔者的教学实例谈谈瞿x x的进步。

1、重复的错误明显变少了

我们数学老师都知道纠错的重要性，对学生来说得不到高分最大的困难不是因为难题太多，而是不该犯错的地方又错了，对瞿x x来说以前最大的拦路虎就是这个，通过这段时间让其说错，他对自己犯错的原因有了真正深刻的认识，还进行了如何避免类似错误的反思，在每次考试中因为这个原因丢分的现象明显减少了，对学习也有了更大的积极性。

2、懂得反思，思维更深刻了

【案例10】教师布置做课堂作业，题目是：若（x3+mx+n）（x2-5x+3）展开后不含x3和x2项，试求m，n的值。我发现有很多同学感觉无从下手，于是就请学生们暂停，全班讨论这一难题，瞿x x还在那边自言自语些什么？于是我就请他回答。“结果要不含x3和x2项，也就是说x3和x2项的系数为0就可以了”， 同学们诧异地朝他看去，我问：“你怎么想到的？”“本来我也不理解不含x3和x2项的含义，后来想到以前做过一题——要使（k-1）x2+kx=3是一元一次方程，k应满足什么条件。那题需满足x2项的系数为0，所以这题也就差不多了”……

在做题时能联想到以前的错误，在比较、分析中解决问题，说明瞿x x已经学会反思自己的过去，学会在反思中思错、悟道。平时的数学课上，也能看到其在与同学争论中积极发表自己的意见。

3、口头表达能力提高

【案例11】下午第一节下课，走进教室，发现语文老师正在对瞿x x说：“上课你的回答很精彩，继续加油！”听到这里，我想到看来其他学科教师也看到了瞿x x的进步。回想瞿x x最近的回答真让我吃惊：“我对x x的回答有意见，……一开始我也是这样想的，后来发现这样的话就……。”“老师，你刚才说的应再加一句……”诸如此类的话不仅说明瞿x x已经会在比较、辨析中反思了，也让老师感到他的表达能力在不断提高。

五、感悟反思

心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”教师在遇到“错误”时，首先要冷静分析错误的原因，宽容对待学生的错误。教师要针对不同的原因，帮助学生灵活纠正错误，带领学生从“错误”走向“正确”。以下提供几点拙见：

（1）荒谬结论，引为笑柄，让错误“原形毕露”

在教学时，我们经常会发现有许多学生在解题时，出现一些致命的错误，而这些错误如果经过教师的继续推导，可能会出现一些令人十分可笑的结果，这种让错误“原形毕露”的方法远比直接书写正确答案的效果要好得多。

【案例12】在复习《一元一次方程》时，我设计了这样一题：如果，则下列等式不正确的是（）

（A）（B）

（C）（D）

居然有许多同学选了B。我灵机一动，不如干脆用好这个错误的资源：

师：你们承认A选项是正确的，那么就承认x=y，则有x2=xy是正确的。生：是的。

师：那么，我在x2=xy两边同时减去y2，这个等式变不变呢？

生：不变。（等式的基本性质1）

师：这样的话，你们就承认x2-y2=xy- y2也是对的，为什么选B呢？生：无语。

为了让学生彻底理解，于是我继续把这个结论往下推，使错误“原形毕露”。

师：由x2-y2=xy- y2 通过因式分解：（x+y）（x-y）=y（x-y） ∴x+y=y

由x=y，得2y=y ∴2=1

在学生一阵惊叹中，我反问学生：那么老师又错在哪里了呢？

此时学生的学习情绪十分高涨，跃跃欲试，在共同探讨下，才真正理解了错误的本质，学生对于等式两边同除以一个数或式（不为零）有了更深刻的认识。

在这次教学中，我没有对错误马上打住，而是把这个问题继续引申，使本来正确的推理又在教師的设计下再次“出错”。促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考。这样通过适时、适度地点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前思维障碍，进入创新求异的新境界，让学生体验思维价值，享受思维的快乐，使思维能力、观察能力、反省能力得到充分的提升，为学生的终身学习搭建了良好的平台。

（2）小组纠错，“自我否定”，让错误“未生先死”

建构主义认为学生的错误不可能单独依靠正确的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程。《数学课程标准》中非常强调数学事实的建构性，也就是说数学知识不应是教师、教材直接给予学生的，而是在学生充分经历数学活动过程中动态生成的。

【案例13】在刚学完直角三角形斜中线定理后，笔者在教学中出示这样一道题：

已知直角三角形一边长为6，另一边长为8，求斜边上中线的长度. 学生一般会答5。笔者没有说什么，只是分成小组，在小组内进行讨论，得到正确答案为止。

教师通过这样一讨论，一下子引起了学生的进一步思考：难道答案5有问题吗？

我们知道，这类题目在许多考试中频频出现，但由于学生思维的影响，任凭老师如何强调要进行分类讨论，要看清楚题意，一段时间过后学生还是又忘记了。而笔者的做法避开了学生产生思维定势的条件，先打“预防针”，那么“犯病”的可能性就会大大降低。学生犯了“错”，小组一起来纠错，通过不断“自我否定”的过程，把学生极易犯的“错”噩杀在萌芽状态，让错误“未生先死”。从根本上减少学生出错的条件，这种做法有极强的推广价值（笔者做过一个调查）。

（3）品错赏错，体验成功，让错误“美丽动人”

学生在数学实践时常常会出现一些意想不到的错误，很多教师为学生的错误而烦恼、困惑，甚至怨声载道。品“错”是学生对自己错误的一种反思，同时也是教师对自己教学的一种反思。从心理学的角度来说，反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。课堂教学中积极培养学生的反思习惯，让学生在品错赏错的过程中，放松思维，体验成功。

学生在学习解一元一次方程时，我发现许多学生解方程总是解不对，我把学生在平时做错的解方程题一一作了记录，并总结归纳出了学生在解含有分母的方程时主要出现如下错误：（1）漏乘;（2）去括号时符号出错;（3）去分母时忘记加上括号;（4）分配律使用时，分配不公。我针对以上问题，设计了同一道题目的如下三种错解，展开了一节 “品错赏错”课。

【案例14】解方程

a. b.  c.

解：方程两边同乘6，得 解：方程两边同乘6，得 解：方程两边同乘6，得

我先让学生自已找错，再分小组让学生评析产生错误的原因。学生各抒己见，得出对策，学生在评析错误的过程中，总结经验，养成良好的解题习惯。这节课始终围绕错误展开，让学生在纠错、改错、评错、赏错的过程中感受到学习的成功和快乐。这不禁让错误“美丽动人”起来。

参考文献：

[1] 刘玉华.“说错”在数学教学中的应用.《计算机教与学》.

[2] 萤火虫. 说错----高中数学习题教学的一个改变.

[3] 刘玉华. 数学作业“说错”.

[4] 阳桂娥. 适时说错教学 活跃气氛 激发思维.