三轴联动曲轴加工的实现

蔡晓敏 成 超

（1.南京邮电大学通达学院 扬州225000；2.扬州环锐科技有限公司 扬州225000）

曲轴是发动机的关键零件其中之一，由于曲轴是偏心结构，不能采用常规的圆形加工方法，曲轴磨削加工高精度高效率一直是难点和重点。目前很多曲轴数控加工技术是基于C-X两轴联动的切点跟踪磨削法，这种方法磨削点在相同时间内运动的弧长发生变化，零件表面加工精度受到影响。另外，根据曲轴切点跟踪模型得到砂轮位移后，在西门子机床上用离散点直接加工，加工过程不够顺滑，会存在加速度跳跃点，影响加工精度。为此，本文研究了基于C-X-Y三轴联动的曲轴连杆颈切点跟踪磨削法，并且基于西门子SINUMERIK 840D数控系统，提出一种采用中间参数的分段多项式插值，大大减小了轮廓误差，提高加工精度。

1 影响磨削质量的基本参数

由磨削原理可知，当量磨削厚度是影响加工表面粗糙度的基本参数，其计算公式为[1]：

式中： ap为磨削深度（径向）；vw为工件上磨削点处的速度；vs为砂轮上磨削点处的速度。

磨削过程中进给量是可以单独控制的，不考虑其它因素，关键问题就是控制砂轮和曲轴线速度的比值为定值。传统C-X曲轴随动磨削曲轴以恒角速度进行转动，当量磨削厚度是时刻变化的，这样会引起加工误差，所以建立了一种C-X-Y三轴联动的曲轴随动磨削模型[2]。但文献[2]没有对C-X-Y三轴联动时当量磨削厚度如何变化进行详细分析。

2 C-X-Y三轴联动模型的研究

当曲轴连杆颈围绕主轴颈的中心旋转时，砂轮为了保持与连杆颈相切，不仅要横向移动，还需要纵向移动，连杆颈的中心、砂轮的中心和磨削点在同一条水平线上，如图1所示。R 为曲轴连杆颈的偏心距；Rw为连杆颈半径；Rs为砂轮半径；O 为曲轴回转中心；Ow为连杆颈中心；Os为砂轮中心；Oi为磨削点； α为 OOw与OOs的夹角；θ 为OOi与OOs的夹角。

图1 C-X-Y三轴联动的运动模型

2.1 砂轮架的位移

砂轮架横向位移：

砂轮架纵向位移：

2.2 工件速度

曲轴绕回转中心O 旋转的角速度

磨削点在曲轴连杆颈部绕曲轴连杆颈部中心线的转动速度就是工件的速度：

曲轴绕主轴中心 O做旋转运动，连杆颈旋转引起曲轴上磨削点 Oi的运动速度为：

其中，Ri为磨削点Oi到回转中心O 距离。

如图1所示：以磨削点 Oi为坐标原点，OiQs为X轴，磨削点切线方向 OiP为Y轴建立坐标系XOY 。将 在 坐标系中分解，则对曲轴上的磨削点，在Y轴方向上有：

而砂轮为了保持磨削点与连杆颈的中心、砂轮的中心在同一条线上，有沿垂直方向Y轴上的纵向速度补偿 vy：

如此时砂轮自身的线速度为vs，对砂轮上的磨削点其切线速度有：

则砂轮上的磨削点相对曲轴上的磨削点的切线速度为：

其中，vy为相对砂轮速度。当以vs方向为砂轮速度方向时，为保证恒当量磨削厚度，必须保证工件的速度与砂轮速度之比为常数。对曲轴非圆磨削，即要保证式(4)中的vw与式(9)中的vy之比不变。

2.3 简化模型的误差影响

表1 仿真计算中涉及的参数

随着曲轴转角的变化，曲轴旋转一周引起的忽略速度大小变化如图2所示。

图2 简化模型中忽略的速度变化曲线

从图2中可以看出三轴联动模型的忽略项为恒定值，不随着曲轴旋转的角度而变化，不影响砂轮上磨削点处的速度，当量磨削厚度ℎeq是一定的，磨削质量比较好。而且由于此时的头架做恒角速度运动，控制方便，头架主轴旋转电机的跟随误差较小。

3 分段多项式插值的实现

根据C-X-Y三轴联动曲轴切点跟踪模型得到砂轮位移后，如果在西门子机床上用离散点直接加工，加工过程不够顺滑，会存在加速度跳跃点，影响加工精度。多项式函数比较容易构造，在中间节点处的导数都是连续的，而且构造出来的函数误差较小，所以多项式函数是对任意复杂轨迹曲线进行插值的有效形式。当目标曲线较复杂时，若多项式的阶数过低，则截断误差较大。采用过高阶数的多项式函数来插值复杂的运动轨迹，可能出现龙格现象，而且随着 n 的增大，计算量增大，舍入误差增加。因此在节点较多的情况下，为了在保证插值精度的同时，不用过多的多项式阶数增加计算的难度，可采用分段三次多项式插值的方法。

采用分段多项式插值来模拟曲轴非圆磨削时的运动轨迹，主要步骤为：(1)选取曲轴旋转角度α ：C-X-Y三轴联动模型曲轴是恒角速度旋转，通常选取曲轴旋转角度α 每1°一个点，曲轴旋转一圈360°共有361个点（包含起点0°和终点360°）；(2)根据C-X-Y三轴联动模型求出跟随曲轴旋转时砂轮架相应的横向位移X和纵向位移Y构成的一系列节点 α0,X0, α1,X1,…, αi,Xi,…, αn,Xn和α0,Y0, α1,Y1,…, αi,Yi,…, αn,Yn；(3)以4个节点为一段，并且下一段的起点是上一段的终点，以保证每段三次多项式的边界点连续，求出曲轴旋转一周的所有分段多项式表达式。

3.1 分段多项式函数的构造

根据式（1）、式（2）可知砂轮位移X 、Y都是关于曲轴转角α 的函数，用三次多项式函数表示为X α=m1+m2α+m3α2+m4α3m4≠0,m1,m2,m3∈R 、Y α=m5+m6α+m7α2+m8α3m8≠0,m5,m6,m7∈R ，四个已知条件可以确定唯一的三次多项式函数，给出曲轴某一段四个节点的曲轴转角α0,α1,α2,α3及其相对应的砂轮位移X0,X1,X2,X3和Y0,Y1,Y2,Y3，可以求出唯一的系数m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8。但是曲轴转角α 变化一度时，砂轮位移变化量X和Y很小，按这种常规方法求出的系数会产生较大的计算误差，所以这里引入了一个中间参数p ，且p 的范围为 0≤p≤1，这样保证曲线插值误差比较小，因此，曲轴转角α 、砂轮位移X 和Y 可写成关于中间参数p 的三次多项式函数为：

已知曲轴某一段四个节点p1,p2,p3,p4对应的曲轴转角为α0,α1,α2,α3、砂轮位移为X0,X1,X2,X3和Y0,Y1,Y2,Y3，p1,p2,p3,p4选取代入式(12)~ (14)即可得到：

由式(15)~式(17)可以求解出曲轴某一段曲轴转角α 、砂轮位移 X和Y关于中间参数p的三次多项式函数的系数a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,a3,b3,c3,d3。

接着以曲轴上一段节点的终点作为下一段节点的起点，求出下一段曲轴转角θ 、砂轮位移X 和曲轴旋转角速度 ω关于中间参数p 的三次多项式函数的系数，这就是分段多项式插值。

3.2 插值误差

采用分段多项式插值，节点位置不存在误差，相邻两节点间最大的插值误差可由下式求取。

砂轮架横向位移插值误差：

砂轮架纵向位移插值误差：

采用表1所示的参数进行曲线插值误差仿真分析，由于横向位移插值误差和纵向位移插值误差表达式形式相同，只需仿真其中一个即可。砂轮横向位移插值误差仿真曲线如图3所示，其最大插值误差约5×10-7mm，远远小于机床的分辨率，故此方法的插值效果比较好。

图3 最大插值误差图

4 结语

本文以恒当量磨削厚度角度出发，研究了C-X-Y三轴联动的曲轴连杆颈切点跟踪磨削法，发现模型简化过程中忽略项为恒定值，不影响砂轮上磨削点处的速度，当量磨削厚度 是恒定的，磨削质量好，而且工件恒角速度旋转，便于控制。另外基于西门子SINUMERIK 840D数控系统，提出一种通过中间参数构造分段多项式插值，加工过程比离散点加工更顺滑，没有跳跃的加速度，加工精度高。