高中数学三角函数最值问题的常见解法

江苏省扬州市邗江区瓜洲中学 戚明兵

三角函数最值问题是三角函数知识体系中一个常见的知识点，也是高考的重要内容，它不仅与三角函数变换直接相关，还和二次函数、导数、不等式等知识存在紧密关系。三角函数最值问题中涉及知识点比较多，题型灵活多变，解法也非常多样。为了帮助学生顺利解决三角函数最值问题，教师需要引导学生掌握最常见的解法，并帮助学生构造三角函数解题模型，如此才能提升学生的解题效率。

一、借助函数值域，构建三角函数最值模型

值域是三角函数知识的一个重要内容。三角函数sinx、cosx的定义域为R，值域为[-1,1]；函数tanx、cotx的值域均为R。掌握三角函数的值域，是解决三角函数最值问题的关键，只有灵活掌握了三角函数的值域，才能顺利求出三角函数最值。对于形如y=asinx+b、y=acosx+b的三角函数最值问题，教师可引导学生通过函数值域建立函数模型，帮助学生掌握解题的一般规律，从而更好地提升学生解题效率。

例如，求三角函数y=2sinx+1 的最值。解决这个问题的关键，就是紧抓三角函数的值域。首先，找出值域。已知任意角的三角函数y=sinx的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。其次，建立不等式。根据三角函数值域，得出-1 ≤sinx≤1。最后，转化式子。将三角函数值域不等式一步步转化为问题模型。因为-1 ≤sinx≤1，那么-2 ≤2sinx≤2，所以可以得出-1 ≤2sinx+1 ≤3，所以ymin=-1，ymax=3。化解形如y=asinx+b的三角函数最值问题，最关键的就是思考三角函数的值域，并通过“找出值域→建立不等式→转化式子”三个步骤建立解题模型，实现顺利求解。

在上述案例中，教师根据三角函数值域这一知识点，引导学生构建了形如y=asinx+b的三角函数最值问题解题模型，如此不但优化了学生的解题思路，还帮助学生更好地认识了三角函数性质。

二、借助函数配方，构建三角函数最值模型

配方法是一种常见的解题方式，它是将一个式子或一个式子的一部分，通过恒等变形转化为完全平方式或者几个完全平方式的和的一种解题方法。这种解题方法常被用到三角函数恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是一种有效的解题方式。对于形如y=asin²x+bsinx+c、y=acos²x+bcosx+c的三角函数最值问题，采用配方法是一种便捷的解题方式。

在上述案例中，教师根据配方法这一常见的函数解题方法，引导学生构建了形如y=asin²x+bsinx+c的三角函数最值问题解题模型，如此不但帮助学生复习巩固了二次函数的知识，还引导学生解决了三角函数最值问题，可谓是一举两得。

三、借助分离常数，构建三角函数最值模型

总而言之，对于三角函数最值问题，教师不能让学生急于动笔，而是应当引导学生认真阅读题目信息，从函数形式入手，仔细观察三角函数的形式，通过三角函数最值、二次函数配方法、分式函数常数分解法等方法找到解题的关键，从而选择最优的解题方式进行问题求解。当然，三角函数最值问题常见的解法除了上文提到的最值法、配方法和常数分解法之外，还有反函数法、函数表达式变形法、辅助角法、换元法等不同方法，教师应当指导学生根据具体问题建立解题模型，从而帮助学生顺利解决三角函数最值问题。