基于案例分析的初中数学几何基本图形的教学探索

江苏省苏州工业园区唯亭学校 顾成华

在进行几何教学过程中，常会发现有些学生面对一些陌生的问题时往往束手无策，也有不少学生只会做那些刚见过、做过的，比较熟悉或相似的题目。当学生不会做题时，问他在思考时都想到了什么，他往往会回答：“大脑中一片空白，不知道怎样想。”学生提炼不出解题思路的根本原因，笔者以为是学生不能把问题化归转化，是缺乏分析推理能力的表现，究其原因，是对数学基本图形不熟悉。教师需要在平时的教学过程中有意识地帮助学生提炼基本图形，强化训练基本图形。教师应告诉学生：在分析几何问题时，首先要试图找出、分离适当的基本图形，如果不能找到完整的基本图形，那么要根据题干中的线索去捕捉部分基本图形，这时可通过添加适当的辅助线来构造完整的基本图形，进而应用基本图形的性质来解决具体的问题。显然，学生习得、提取基本图形的能力还有待提高。

一、基本图形的概念

所谓基本图形，应该是我们分析解决几何问题时，从问题图形中分离出来的最简单、最基本、最重要而且具有特定性质的图形。从基本图形运用的难易程度来看，它可以分为两类：第一类是现行初中数学教材中出现的定义、公理、定理以及推论所对应的图形，第二类是在教材对应的例题、习题、练习中发现的具有典型性的图形。第一类基本图形是第二类基本图形的基础，第二类基本图形通常是由几个第一类基本图形组合而成的。

图1 是定理“三角形中位线平行于第三条边，并且等于第三边的一半”所对应的基本图形，属于第1 类基本图形，图2 是“中点四边形”所对应的基本图形，由对角线相等可得中点四边形是菱形，由对角线互相垂直可得中点四边形是矩形，反推亦成立，这就属于第2 类基本图形。

二、初中数学几何教学中对于基本图形教学的几点思考

《数学课程标准》在几何方面的学习要求是让学生“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”。基于多年的教学实践及平日的探索，笔者以为，应把习得基本图形、直接提取基本图形、间接提取基本图形相结合，从而实现对基本图形的掌握和灵活运用，这可通过以下几个步骤实现：

1.通过教学习得基本图形，熟知基本图形的条件和结论以及证明或求解的方法

教材中几何的复习课一般都是几何的定义、定理、推论等的进一步学习，往往可以对已经习得的知识进行更高层次的升华，而它们所对应的基本图形就是前面所说的第2 类基本图形，因此教师在上课时要注重对这些基本图形的总结和提炼。

苏科版八年级上册第3 章第3 节“勾股定理的简单应用”有这样一道题：一根竹子原高一丈（1 丈=10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3 尺，试问折断处离地面多高？

这道实际问题转化为数学问题就是：如图3，已 知∠C=90 度，AB=BD，AC=10，CD=3，求BC的长度。

在这道题目中，已知直角三角形三边中一边CD的长度以及另外两边BC、BD的和，因此可以设BC为x，则BD为10-x，利用勾股定理得到方程进行求解，本题中还可以求出AB和BD的长度。

本题还可以改编成：在Rt △BCD中，∠C=90 度，AB=BD，已知AB、BC、AC、CD中任意两条线段的长度，你能求出其他线段的长度吗？

答案是都可以求出来的，因此，可以得到这个基本图形的条件是：直角三角形，两条线段相等，知道两条线段的长度（不包括题中两条相等线段的情况），可以求出基本图形中其他线段的长度。

这是勾股定理和翻折构成的基本图形，属于第2 类基本图形，由于此图形形状类似于红旗，为了方便学生记忆，遂把这个基本图形定名为“红旗模型”。

红旗模型还有一些其他结构，比如《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10 尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1 尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图4）水深和芦苇长各多少尺？

本题转化为数学问题是：如图5，已知∠CBD=90°，AC=CD，AB=0.5，BD=2，求BC的长度。

再比如：如图6，∠ACB=90°，BC=BD，已知AD和AC的长度，可以求BD，BC，AB的长度。这两道题都可以进行类似的改编，解题方法也都和图3 类似。

2.通过发展条件和结论反推，直接提取基本图形解决问题。

所谓直接提取基本图形，就是在有其他图形干扰的情况下，能够根据条件或结论找出基本图形。因为通过学习已经对某个基本图形有所了解和理解，学生就能有的放矢，直接依据题设条件或结论提取相应的基本图形，并运用基本图形的性质解决问题，例如：

如图7，折叠直角三角形ABC，使直角边AC落在斜边AB上（AD为折痕，C落在E上），已知AC=6，BC=8，求CD的长。

解答：由勾股定理易得AB=10，BE=4，由翻折得CD=DE，故可以找到如图8 的基本图形，即可求出答案。

变式：如图9，折叠直角三角形ABC，使点B落在点A上（DE为折痕），已知AC=6，BC=8，求CD的长。

解答：可在图形中直接找到基本图形，如图10，大多数学生都可以又快又准确地完成这道题。

3.通过添加适当辅助线，间接提取基本图形解决问题

如果无法直接提取基本图形，可考虑作适当的辅助线来构造基本图形，通过间接提取基本图形来解决问题。在学生极其熟悉基本图形，能够准确提取后，就要引导学生能辨认出略带残缺的基本图形，经过多样的反复训练后，使其内化成为学生的数学素养，并能在应用过程中举一反三。

笔者挑选了几个典型的题目，结合自己的教学心得，谈谈这个解题技巧，以作参考。

例1：如图11，矩形OABC在平面直角坐标系xOy的第一象限内，点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，连接AC，将矩形OABC沿AC翻折，使点B落在点D的位置，若点B的坐标为(2，1)，则点D的坐标是_________。

解答：设CO与AD相交于点E，折叠后CD=CB=OA=1，由平行线、角平分线构成的基本图形可得等腰三角形ACE，再设CE=AE=x，在Rt △AOE中，由勾股定理求出x的值，然后作DF⊥x轴，根据△AOE∽△DFE即可得出答案。

评注：本题是利用相似三角形对应线段成比例建立方程求解，困难之处在于比例式中有部分线段长度未知，通过翻折构造红旗模型，如图12，则可化解这一难点。

例2：如图13，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5。在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你探究可能出现的情况，求出最大值。

解答：（1）将矩形纸片对折，使点B与点D重合，如图14。此时点K也与点D重合，由平行线、角平分线构成的基本图形可得等腰三角形DMN，再设KM=x，则AM=5-x，由勾股定理求出KM和KN的值，最后求出△MNK的最大面积。（2）也可将矩形纸片沿对角线AC对折，如图15，下面的解法和第（1）种情况相类似。

评注：问题中，两种翻折情况均是先画出翻折后的图形，通过构造基本图形——红旗模型求出KN的长，再借助求KN的最大值求出△MNK面积的最大值。

笔者仅以勾股定理与翻折的基本图形“红旗模型”这一基本图形为例，探索了如何教会学生习得基本图形、直接提取基本图形、间接提取基本图形，最终解决问题的教学思路，也试图以此抛砖引玉，与其他同仁探讨基本图形的教学策略，完善基本图形分析法，让我们的课堂教学更高效，让学生的解题能力更高强，以达到双赢的结果。