基于H运算的动态网络重要节点识别方法

邵豪 王伦文 邓健

摘 要：传统K-shell网络重要节点识别方法迭代时需网络全局拓扑信息，而且难以应用于动态网络。为解决该问题，提出基于邻域优先异步H运算的动态网络重要节点识别方法。首先，证明该算法收敛于Ks（K-shell）值，其次以各节点的度作为h指数初始值;然后，通过节点h指数排序和邻居节点h指数变化选择更新节点，同时针对动态网络节点的增减数目和最大度，修改h指数适应拓扑变化，直至算法收敛并找到重要节点。仿真实验结果表明，该方法通过邻居节点局部信息且以更高效率找到动态网络的重要节点，收敛时间在静态网络中较随机选择更新节点法与变化邻居选点法分别下降77.4%和28.3%，在网络拓扑变化后分别下降84.3%和38.8%。

关键词：动态网络;重要节点;h指数;H运算;K-shell;邻居节点

中图分类号：TP393

文献标志码：A

Important node identification method for dynamic networks based on H operation

SHAO Hao1， WANG Lunwen1*， DENG Jian2

1.Institute of Electronic Countermeasure， National University of Defense Technology， Hefei Anhui 230037， China;

2.Second Department， Shijiazhuang Campus， Army Engineering University， Shijiazhuang Hebei 050003， China

Abstract：

Focused on the issue that the traditional important node identification method for K-shell networks needs global topology during iteration and cannot be used in dynamic networks， a neighborhood priority asynchronous H operation based an important node identification method for dynamic networks based on neighborhood priority asynchronous H operation was proposed. Firstly， the algorithm was proved to converge to Ks （K-shell） value; then the degree of each node was taken as the initial value of h-index， and the nodes to be updated were selected by the h-index ranking of the node and the h-index change of the neighbor nodes; meanwhile the h-index was modified to adapt to the topology change according to the number change and maximum degree of the dynamic network nodes， finally the algorithm converged to the Ks and the important nodes were found. The simulation results show that the algorithm can find important nodes effectively by local information of neighbor nodes with less convergence time. Compared with the random selection algorithm and the neighborhood-variety selection algorithm， the convergence time of the proposed algorithm decreases by 77.4% and 28.3% respectively in static networks and 84.3% and 38.8% respectively in dynamic networks.

Key words：

dynamic network; important node; h-index; H operation; K-shell; neighbor node

0 引言

随着科技的发展，各种网络渗透到人们日常生活中，网络在国民经济、军事斗争等领域发挥越来越大的作用。网络中不同的节点在结构和功能上发挥的作用截然不同[1]，因此识别网络中的重要节点具有十分重要意义。比如在社交网络中，几个重要用户的微博信息能迅速传遍整个网络[2];战场无线通信网中重要节点传输重要情报，为作战指挥提供信息保障[3];对重要节点的保护有助于防范网络病毒攻击[4]。

传统的网络重要节点识别方法通常利用节点的某一属性，例如将图论中的度[5]、最短路径[6]、最小生成树[7]等概念与现实问题背景相结合。近年来提出了一些新的识别方法，例如文献[8]考虑社交网络节点交互特征，将节点权值作为阻尼系数提高PageRank算法的识别精度;文献[9]通过拓扑特征和动力学特性的集成，提出动态敏感中心，计算包含传播速率和传播时间且终止于目标节点的加权步行总数，以此作为节点重要性标准。文献[10]提出利用节点邻居的拓扑重叠系数来衡量节点层间关系，从而判断时序网络的重要节点。文献[11]通过考虑节点的近邻数目和聚类系数[12]而提出了聚类等级的概念。一般来说，在相同的邻居数目下，节点的聚类系数越大，其影响力越小。此外，韩忠明等[13]通过研究节点间的三角结构与邻居节点的数目作为节点影响力度量指标。Kitsak等[14]提出K-shell方法，通过依次剥离度数不符合条件的节点来给予其Ks（K-shell）值，以此来寻找网络的核心，且Ks值越高的节点，信息传播能力越强[15]。但是，以上方法的缺点是运算时都需要网络全局的拓扑信息，不适用于動态网络以及分布计算。

为解决这一问题，吕琳媛在《Nature Communications》提出并证明网络节点的h指数经H运算迭代收敛于Ks值[16]，且H运算的迭代使用节点邻居局部信息，支持异步运算。在原始算法中，节点的选择策略是随机的。因此随着算法的进行，已经收敛的h指数对应的节点个数增加，随机选择到已收敛节点的概率也会增加，导致一次迭代后h指数不发生改变，造成本次迭代浪费[16]。随机选择节点的方式使算法在后期收

敛速度和性能明显下降，为解决这一问题，Lee等[17] 考虑H运算使用节点邻居局部信息，提出变化邻居选点法，优先选择邻居h指数变化的节点进行迭代，从而提高原始算法的后期收敛速度。但这两种算法都没有考虑值的固有属性以及度大小对算法性能的影响。此外，两种算法只考虑静态网络，未考虑网络节点链接发生变化的情况。

针对上述存在问题，本文提出一种基于H运算的动态网络重要节点识别方法。该算法改进随机选择更新节点法[16]与变化邻居选点法[17]的节点选择策略，以及网络变化后h指数的更新策略。通过邻域优先与h指数排序的方法选择更新节点，根据网络节点变化数目修改h指数迭代值进行运算。通过理论与实验分别证明，本文算法与原始算法都收敛至Ks值，以判断节点重要性，且收敛速度大大加快。

1 相关知识

1.1 网络表示

G（N，M）表示由N个节点、M条链路组成的无权向网络。邻接矩阵A来表示网络节点连接，矩阵元素aij定义如下：

aij=0， 节点i， j之间无链接

1，节点i， j有间无链接 （1）

节点度ki是节点i的邻居节点的个数，即ki=∑Nj=1aij。

1.2 基于K-shell 的重要节点识别方法

K-shell的思想[14]如下：剔除网络中孤立节点后，先删除网络中度为1的节点及其边，之后删除新产生的度为1的节点及其边。重复上述操作，直到网络中不存在度为1的节点，将所有被删除的节点赋予1-shell，即Ks值為1。随后重复删除度为2的节点，得到Ks值为2的节点。依此类推，直到网络中所有节点都被赋予Ks值。节点Ks值越高，表示节点位于网络更核心位置，重要性越高[15]。

1.3 h指数与H算法

h-index[18]作为一个混合量化指标，其目的是量化科研人员作为独立个体的研究成果。其原始定义是，一名科研人员的h-index等于h，意味着其总共发表的N篇论文中，有h篇论文被引用至少h次。目前，h-index也被用于社交网络用户影响力的排名[19]等领域。

与原始定义类似，本文将h-index定义扩展至网络拓扑，以量化节点在其网络中的重要性。定义H运算如下：

g=H（g1，g2，…，gj）（2）

其中g1，g2，…，gj是任意j个非负整数。式（2）表示在这j个非负整数中，至少有g个整数的值不小于g，g取最大值。例如，在集合（2，2，3，3，4，5）中，至少有3个数的值不小于3命题成立，4个数的值不小于4命题不成立，因此，H（2，2，3，3，4，5）=3。此外，即节点的Ks值，等于其邻居节点Ks值经过H运算后的值[16]。

针对网络G（N，M），每个节点的h指数初始值是该节点的度，即h（0）i=ki。依据前文定义的H运算，更新网络中节点i的h指数：

hi=H（hi1，hi2，…，hiki）（3）

其中，hi1，hi2，…，hiki为节点i的ki个邻居的h指数。

当网络的H运算迭代收敛时，每个节点的h指数都到达稳态不发生变化。文献[16]证明节点h指数到达稳态时等于Ks值。在式（3）迭代中，h指数值没有时间上标，也就是说 hi1，hi2，…，hiki的值可能位于不同时间阶段，有的更新已数十次，有的从未更新，这样的异步运算为动态网络与分布计算迈出了重要一步。

2 基于H运算的重要节点识别方法

在实际中，节点的移动或者状态变化会导致拓扑结构的变化。通过获取新的网络拓扑结构，重新初始化相关数值，重新进行H算法迭代获得节点的Ks值以判断节点重要性是可行的，但这并不适合动态网络的实际。本文考虑修改节点在变化前最新的h指数值以适应拓扑变化，避免重新迭代，并保证收敛时间不大于重新迭代的收敛时间。

2.1 动态网络算法收敛性定理及证明

原始算法中h指数的收敛过程，是从节点度收敛至Ks值的单调非递增过程[16]。在本文中，动态网络结构变化后，节点h指数初始值不是节点的度，而是一个更接近于收敛值Ks的数，从而提高算法效率。以下给出定理并证明在本方法中，初始值虽然不是度，但依旧与原始算法一样可以收敛至Ks值。

定理1 在网络G（N，M）中，任意节点i的h指数的初始值h（0）i 不小于Ksi，通过H运算，h（∞）i=Ksi。

证明 首先，证明任意节点i在任意时刻t，皆满足h（t）i≥Ksi。采用反证法，因为节点h指数初始值h（0）i=Ksi。随着迭代的进行，若存在某时刻t1，此时刻首次出现某一个节点j∈N，h（t1）j

其次，证明网络中度最小的节点满足h（∞）i=Ksi。对于ki值最小的节点i，依据K-shell性质，ki=Ksi;根据H运算定义，h（∞）i≤ki，之前已用反证法证明h（∞）i≥Ksi。综合得：Ksi≤h（∞）i≤ki=Ksi，故h（∞）i=Ksi。

然后，类似K-shell，将网络中度最小的节点i剥离后，证明剩下所有节点中，度最小的节点j依旧满足h（∞）j=Ksj。此时，节点j的情况分两种情况讨论：

① 节点j不与已剥离节点相连，与前文证明类似，可得kj=Ksj，h（∞）j≤kj ;综合得h（∞）j=Ksj。

② 节点j与已剥离节点相连。据K-shell的性质，Ksj≥Ksi。h（∞）j=H（h（∞）j1，h（∞）j2，…，h（∞）jkj），在节点的kj个邻居中，已被的剥离节点个数为kj-Ksj，且满足h（∞）i=Ksi≤Ksj;剩余未剥离节点的个数为Ksj，且满足h（∞）≥Ksj，h（∞）j=H（h（∞）j1，h（∞）j2，…，h（∞）jkj）=Ksj。

重复剥离步骤，同理，网络中最小度节点仍满足h（∞）=Ks。最终所有节点被剥离，皆满足h（∞）i=Ksi。定理1得证。

通过理论证明，本文算法与文献[16]、文献[17]的收敛值相同，即Ks值。1.2节介绍节点Ks值作为网络核心位置的评判标准，基于相同的评价指标，本文算法与原始算法相比，收敛后得到相同的网络重要节点排序，有效地判断网络节点的重要性。

2.2 动态网络重要节点识别策略与速度改进

定理1证明，只要保证节点的h指数初始值大于其Ks值，H运算也能够收敛至Ks值。本文把网络节点的变化，等效为同时增加m个节点和减少n个节点。网络拓扑由010101010变化为011101110，可视作为网络减少1个度为1的节点，增加1个度为2的节点。假设变化前算法最新迭代至H=（h1，h2，…，hv）。以下，分别讨论增加m个节点和减少n个节点时，如何改变h指数，保证定理1成立。

1）网络中增加m个节点。根据K-shell性质，每新增1个节点，其余节点的Ks值至多加1。因此，将hi+m和k（new）i的较小值作为节点变化后的h指数初始值，算法依旧能收敛至Ks值。

2）网络中减少n个节点。因为节点与链路的减少，可能会导致节点的Ks值降低。节点的h指数的更新迭代依旧是非增的过程，依据定理1，算法依旧能收敛至Ks值。因此只需删去减少节点的h指数，其余之前更新到的h指数都可以继续使用。

网络变化后，原算法只能用新的网络拓扑结构重新迭代，hi初始值是k（new）i。本算法的hi初始值是hi+m和k（new）i的较小值，不大于k（new）i，从而提高算法速度并適应网络动态变化。

此外，为提升收敛速度，本文算法中，节点的选择策略不再是随机的，选择策略考虑以下两个方面：

1）一个节点的h指数更新过程，是从ki到Ks值的单调非增变化过程（ki≥hi≥Ksi）[16]。实际上，节点的度越高，其H运算后其变化的概率越大，这对于度分布不均匀的网络更加明显。例如，如图1的星型拓扑结构中，中心节点的度为8，周围节点的度为1。优先选择度大的中心节点进行H运算，其值能迅速收敛至Ks值;若优先选择度小的周围节点，则会浪费迭代次数。

对于hi=1的节点，h指数已经收敛，在接下去的算法选择迭代节点时，跳过这些已收敛的节点，提高收敛速度。

2）根据H运算的定义，节点h指数只与其邻居节点的h指数有关，节点h指数定义为其有最多hi个邻居节点的h指数不小于hi。由此可得，若某个节点i的邻居节点j经过H运算后满足h原j>hi>h现j ，则hi经过H运算可能会发生变化。因此，在下步迭代中，优先选择节点i进行H运算以提高收敛速度。

综上：为提高收敛速度，本文改进原始算法更新节点的选择策略以及网络变化时h指数迭代值。一方面，基于邻域优先和度排列的方式，优先选择可能会发生变化的节点作为更新节点，并跳过已收敛节点，避免每步迭代时，节点的h指数未发生变化从而导致迭代浪费;另一方面，考虑到节点h指数的非递增变化，尽可能缩小h指数的初始值以加快收敛速度。

2.3 基于H运算的重要节点识别算法

基于2.2节介绍的改进思想，提出基于邻域优先的H运算的动态网络重要节点识别方法，算法具体流程如下：

步骤1 对于无权向网络，获取其节点邻居拓扑信息。初始化节点集合V，运算节点集合VC;集合HV记录对应节点的h指数。其中，集合V以节点度降序排列，初始hi=ki，VC为空集。

步骤2 若VC为空，取集合V中第一个节点v1，判断其h=1是否为真。若为真，从集合V中删除v1，取第二个节点进行判断，直至不为真。将不为真的节点加入集合VC中，并将该节点移至集合V最后。若VC不为空，直接进行步骤3。

步骤3 将VC中的第一个节点vi按式（3）更新其hi值，并在VC中删除该节点。

步骤4 比较步骤3中节点vi的邻居vj的hj、hi和hi原。若hi原≥hj≥hi为真，将节点vj放入集合VC最首;否则，直接进行步骤5。在本步骤中，如果满足条件的节点vj不唯一，以hj值降序排列。

步骤5 更新节点邻居拓扑信息并与之前比较，若拓扑发生变化，进行步骤6;否则，返回步骤2。

步骤6 获取增加和减少的节点个数为分别为m、n，增加节点中最大的度为kadmax。

步骤7 将减少的节点从集合V、VC、HV中删除，对于减少节点i的邻居节点j，若hj≤hi，则将节点vj放入集合VC最首;否则，直接进行步骤8。

步骤8 将增加节点按度递减排列放至集合VC首位。集合HV中满足hi

直到节点h指数集合HV=（h1，h2，…，hV）收敛且网络拓扑结构不发生变化，算法终止。

2.4 算法复杂度分析

对于一个N个节点、M条链路的网络，文献[17]证明，随机选择更新节点法[16]与变化邻居选点法[17]空间复杂度均为O（N+M）。与原始算法类似，本文算法的输入是节点数及各节点邻居信息，空间复杂度同为O（N+M），较原始算法未增加。静态网络中，文献[16]随机选择节点更新其h指数。可能会一直选择经过式（3）运算后，h指数不变的节点，因此最坏时间复杂度为无穷大;N次选择后，平均每个节点被选择一次进行h运算，一个节点的h指数是非递增序列（最大值不大于N-1，最小值不小于1），因此平均时间复杂度为O（N2）。文献[17]对所有节点进行邻居变化对比，时间复杂度为O（N2）。本文算法中，根据步骤2可得，运算集合VC中节点来源于满足条件的集合V，节点个数小于N，因此其时间复杂度小于O（N2）。若已收敛的网络有n个节点的结构发生变化，文献[16-17]算法需重新赋值迭代，时间复杂度与静态网络相同。本文算法根据步骤7、8改变节点的初始赋值，Ks的变化不高于n-1，其时间复杂度变为O（nN）。综上，本文算法相比原始算法，在相同的空间复杂度的前提下，有更低的时间复杂度。

3 实验分析

本文采用美国航空网络（Air）[20]、政治博客网络（PB）[21]、海豚网络（Dolphin）[16]、社团网络（Zachary）、无标度网络（BA）[22]网络拓扑结构进行实验分析。Air、PB、Dolphin网络是无权重的有向网络，在实验前将网络中定向的链接转换为非定向[11]。五种网络的参数性质如表1。

实验中算法评价标准PT，其定义为迭代到T步时，h指数已收敛的节点数目比例。根据定义，PT∈[0，1]且单调非减。若PT=1成立，表示算法可以收敛至Ks值;若PT上升速度越快，表示收敛时间越短，算法的收敛速度越快。

本实验使用Matlab程序，首先对实验网络使用本文提出的基于邻域优先与排序的H算法、文献[16]的随机选择更新节点法和文献[17]的邻居变化选择法，输出评价标准PT以分析本文算法在静态网络上的性能及收敛速度。其次，随机在不同时刻t1、t2，模拟网络拓扑结构变化，随机改变网络中m个节点与其余节点的链接情况（m=10%*V），输出评价标准PT，以分析动态网络中三种算法的性能及收敛速度。在实验结果中，方法1表示文献[16]算法，方法2表示文献[17]算法。

图2表示不同网络中，不同方法收敛过程（PT）;表2表示在不同网络中，三种方法的收敛迭代次数。

由图2及表2可得，无论是静态网络还是动态网络，本文提出的算法与文献[16-17]算法相同，最终都收敛至Ks值（PT=1），证明本文算法能与原始算法一样有效判断重要节点。在静态网络中，三种算法在迭代初期性能差别不大，这是因为在初期节点h指数普遍大于其Ks值，三种算法节点经过H运算后h指数大概率能发生变化。随着迭代进行，因为本文算法基于邻域变化和指数排序的方法选择更新节点，迭代后h指数发生变化的概依旧较高。而文献[16]和文献[17]算法选择到h指数不会变化的节点概率大大增加，性能下降。最终，本文算法收敛时间较文献[16]、[17]算法平均下降77.4%、28.3%。

在动态网络中，在实验中t1，t2时刻，网络拓扑结构发生变化，导致节点的h指数和Ks值都发生變化，三种算法的PT都发生下降。拓扑变化后，本文算法h指数初始值比重新迭代的原算法值更低，更接近于收敛值，从而加快了收敛速度。比较网络拓扑变化时刻到算法收敛时刻间的迭代次数，可得网络变化后本文方法的收敛时间较文献[16]和文献[17]下降了84.3%和38.8%。

综上：经实验表明，在静态网络中，本文算法相较于原始两种算法分别减少77.4%和28.3%的收敛时间。当网络10%节点变化后，本文算法分别减少84.3%和38.8%的收敛时间。这证明本文提出的算法不仅能够最终收敛至Ks值以判断节点重要性，而且有效地提升了收敛速度，这极大地促进K-shell在动态网络中的应用。

4 结语

本文改进随机选择更新节点法与变化邻居节点选择法的节点更新策略与链接变化时的初始化策略，提出基于邻域优先异步H运算的重要节点识别方法。一方面，比较节点h指数大小和邻居h指数变化情况来选择更新节点进行H运算;另一方面，根据变化节点的参数修改迭代值，避免拓扑变化导致重新迭代。通过理论和实验证明，本文算法在保证相同的识别结果和空间复杂度的基础上，较原算法降低了时间复杂度，更快速地找到网络中重要节点，且适应拓扑变化。下一步，将考虑基于h运算的分布式并行计算网络重要节点方法。

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This work is partially supported by Science and Technology Innovation Special Zone Project of Military （17-H863-01-ZT-003-204-03）.

SHAO Hao， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include network topology recognition， network behavior analysis.

WANG Lunwen， born in 1966， Ph. D.， professor. His research interests include machine learning， data mining and intelligent information processing.

DENG Jian， born in 1997. His research interests include electronic information processing.