融于核心素养，科学备战中考——以“二元一次方程”为例

☉江苏省仪征市实验中学 余叶军

在中考前，学校要求在近一周的时间内，每位初三一线的教师上一节高标准、高质量的专题研讨课，以作为中考临阵前的一次有力冲锋.备课组教师精心分工，紧密合作，将备考专题进行了分解，笔者所讲授的是一节关于“二元一次方程”专题内容的研讨课.在任务下达之后，笔者认真分析了2018年江苏省各地中考试题，同时翻阅了省外其他地区的试卷，从中寻觅挖掘出一些解题策略，在课堂上采用学生自主探究的方法将这部分知识进行了认知消化、归纳总结.

一、典例引领，让学生在思考中潜移默化

中考数学备考的风向标是什么样的？这是值得每位初三一线教师深思的问题.教师在备考中引导的不仅仅是知识与能力，更应该是一种学科核心素养，一种将知识与能力融为一体的学科体系，能逐步形成学生综合运用知识的能力，内化为学生情感、态度、价值观及数学思想等方面的均衡成长.基于此，笔者的课堂设计是这样的：

1.情境导入，激发学生探究兴趣

首先用电子白板给出一道2019年南京市的中考试题：设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=-1，则x1=_____，x2=_____.

让学生从一元二次方程的基础思考，教师在课堂上巡视，留心学生得出的结果，将不同的方法进行展示.预设结果是：

（1）因为x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，所以可以得到：

这就成了解含有二次方的方程组，难度较大.

（2）因为x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，所以可以写出（x-x1）（x-x2）=x2-mx-6=0.

即x2-（x1+x2）x+x1x2=x2-mx-6=0.

看出m=x1+x2=-1，x1x2=-6，再进行求解.

（3）学生可以直接利用韦达定理，根据“两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项”得出再求解.

创设目的：从基础抓起，让学生再次认识一元二次方程的求解过程.通过（2）和（3）两种方法的展示，学生会再次通过一元二次方程的基础知识理解韦达定理，韦达定理其实就是利用一元二次方程的两根推断的，让学生再次对一元二次方程进行建模，形成数学学科素养.

2.趁热打铁，构建学生知识体系

俗话说“百炼成钢”，中考备考的目的在于让学生能够在最短时间内完成答题，练习是最有效的抓手.在课堂上，选用2018年内江市中考试题.

（电子白板展示）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为______.

让学生在前面掌握了一元二次方程的基础上思考，得出结果，将不同的方法展示出来.预设结果是：

（1）设方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3、x4.

根据韦达定理，可以得出：

则a=0.5，b=-1.5.

代入a（x+1）2+b（x+1）+1=0，化简得到x2-x=0.

得出x3=0，x4=1，即x3+x4=1.

（2）与（1）的前半部分方法相同，得出x2-x=0后，再次用韦达定理得出x3+x4=1.

（3）采用参数方法.

设方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3、x4.

令x+1=m，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0化为am2+bm+1=0.

由方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，可知m1=1，m2=2.

得出m1+m2=3，即（x3+1）+（x4+1）=3，故x3+x4=1.

创设目的：独立思考是中考重点考核的素养，学生在回归旧知的基础上进行思考与拓展，在思考中让学科知识系统化，让应用能力最佳化，从而达到举一反三的目的.学生学会应用数学模型是课堂教学的根本宗旨，也是初中数学的核心素养之一，因此，通过课堂练习可以有效巩固知识、拓展能力，形成学科素养.

二、小组交流，让学生在融合中启迪智慧

当代的课堂应该是知识、生活和生命的融合和演绎，为了不忽视和不逃避课堂现场的问题和意外，既要针对学生的学启发他们去合作，让学生的思维和学习在交流中引向更深、更高的境地，同时要激发学生自主学习的积极性.在不同的智慧融合中启迪心智，在不同思维的碰撞中迸发潜能.

教师就是取之不尽用之不竭的知识宝库，作为中考备考，必须做出针对性的训练，为了让学生站得高看得远，笔者是这样设计该课堂环节的：

讨论：在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b＞0，则称a是该方程的中点值.

（1）讨论方程x2-8x+3=0的中点值是多少.（自主完成）

（2）当a2-b＞0时，x1、x2为方程的两个根，求证：x2-a=a-x1.（交流完成）

（3）已知x2-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值.（交流完成）

预设课堂结果：

（1）直接根据方程的中点值定义得出2a=8，求出a=4.

（2）讨论题干给定的条件a2-b＞0说明了什么，没有这个条件会出现什么结论.［当判别式Δ=4（a2-b）＞0时，该一元二次方程才有两个实数根，其根x1、x2在实数范围内才可以运算］

讨论一元二次方程的两个根与该方程的中点值有什么关系.（可以根据韦达定理来解决）

最终学生通过讨论，得出一元二次方程在判别式Δ＞0时有两个实数根，这两个根满足韦达定理.于是可以推断x1+x2=2a，完成（2）的证明.

（3）方程x2-mx+n=0的中点值是什么？怎样建立中点值与m的关系？（中点值的定义是二次方程的一次项系数的相反数的一半，故=3，则m=6）

知道了m的值和一个根，用什么方法可以求出n？（代入法，将m和方程的根代入方程，得4-12+n=0，则n=8，可以计算出mn=48）

创设目的：备考时进行小组讨论是训练思维的常用方式.在给出题目之后，给予学生独立思考的时间来完成（1）.然后进入小组讨论环节，教师不断观察、引导学生对问题进行建模，从而调控各小组的活动，步步为营，让不同的智慧融合来启迪心智，在不同思维的碰撞中迸发挑战的潜能.

三、针对训练，让学生在锤炼中茁壮成长

在现代初中数学课堂教学中，备考复习时必须依据教材内容对数学理论及数学证明进行融合，给学生以数学逻辑性与思维性，切忌忽略复习重要概念及公式的数学原型，备考时间紧，任务重，虽然无需将每个数学概念和定理都弄清楚来龙去脉，但应注重主次分明，突出重点和难点.就像课堂交流环境一样，对于课堂上已经建构过的知识，必须让学生做到将适当的实际问题进行简化，寻求变量间的相互关系，得出相应的方程.因此，课堂教学中融入的数学建模思想必须及时巩固，有针对性地训练.一般给出6道左右的训练题，让学生在锤炼中茁壮成长.题型最好是开放性的，如：

案例：阅读材料：

方法1：若x+3是x2+mx-3的一个因式，我们不难得到x2+mx-3=（x+3）（x-1），易得m=2.

方法2：观察上面的等式，可以发现当x=-3时，x2+mx-3=（x+3）（x-1）=0，即x=-1是方程x2+mx-3=0的一个根，

将x=-3代入方程x2+mx-3=0，求得m=2.

应用：（1）若x-4是x2-mx-12的一个因式，应用方法1求m的值；

（2）若x+2是2x3+x2+mx-12的一个因式，应用方法2求m的值.

解题过程和另外几题就不再赘述了.

创设目的：让学生将因式分解与方程求解融为一体，成为数学的建模.当知识发生关联时，弄清概念的本质最有效的方法就是建模，试题本身就给出了数学思想，对学生有了更高的要求，因此，设置这类题型具有挑战性和创造力，让学生在解题过程中学会建模是形成学科素养的重要途径.

总之，为了科学备考，为了在中考中旗开得胜，学校的出发点是以生为本，让每一名学生都成才.备课组的细致安排更是锦上添花，每一位教师都上一节高标准、高质量的专题研讨课，专题可以共享，备考更加精准，课堂更加高效.我相信，只要课堂上做到情境导入，激发学生探究兴趣；小组交流，让学生在融合中启迪智慧；针对训练，让学生在锤炼中茁壮成长，就一定能够培养学生良好的数学能力，提升学生的核心素养，从而在中考的战场上尽情驰骋.