数列创新题追根溯源

■河南省平舆县第一高级中学 杨国松

编者提醒：河南省平舆县第一高级中学是全国中学名校，本刊本期特约该校的多位一线名师，详细讲解三角函数、平面向量、数列、不等式专题的考点、题型，精心命制核心考点演练试卷，盼读者认真读一读，练一练，能收获满满哟!

近几年，为了考查同学们在新的问题情景下知识的迁移、创新能力，各地的高考模拟题和高考试题中出现了不受大纲字句的约束，而所考查的内容大体在高中数学范围内的问题，我们称其为创新型问题。创新型试题编制的情景新颖，突出考查同学们灵活运用所学知识的能力，全面考查数学知识的掌握和运用情况，以及分析与解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法有从一般到特殊或从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。

例1定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”。

(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足：a2a4=a5，a3-4a2+4a1=0，求证：数列{an}为“M—数列”。

(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足：b1=1，其中S为数列{b}的前n nn项和。

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M—数列”{cn}(n∈N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值。

解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0。

因此数列{an}为“M—数列”。

由b1=1，S1=b1，得，则b2=2。

当n≥2时，由bn=Sn-Sn-1，得bn=，整理得b+n+1bn-1=2bn。

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列。

因此，数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N*)。

②由①知，bk=k，k∈N*。

因为数列{cn}为“M—数列”，设公比为q，所以c1=1，q＞0。

因为ck≤bk≤ck+1，所以qk-1≤k≤qk，其中k=1，2，3，…，m。

当k=1时，有q≥1；

当k=2，3，…，m时，有恒成立。

令f′(x)=0，得x=e。

所以f′(x)、f(x)在x∈(1，+∞)上的变化情况如表1所示。

因为3≤x≤m，所以h′(x)＜0，故h(x)在[3，m]上单调递减。

所以t(m)在[3，+∞)上单调递减。

所以m的最大值为5，此时q∈

点评：本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归，以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力。

练习1：在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj(即前面某数大于后面某数)，则称Pi与Pj构成一个逆序。一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数。记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a2=3，排列4321的逆序数a3=6。

(1)求a4、a5，并写出an的表达式；

解析：利用逆序数的定义得到an的表达式。

(1)由已知得a4=10，a5=15，an=n+

综上，2n＜b1+b2+…+bn＜2n+3，n=1，2，…。

点评：“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于对新定义的透彻理解。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

例2设{an}是等差数列，{bn}是等比数列。已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4。

(1)求{an}和{bn}的通项公式。

(2)设 数列 {cn}满 足c1=1，cn=其中k∈N*。

解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q。

故an=4+(n-1)×3=3n+1，bn=6×2n-1=3×2n。

所以{an}的通项公式为an=3n+1，{bn}的通项公式为bn=3×2n。

=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n∈N*)。

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识。考查化归与转化思想、数列求和的基本方法及运算求解能力。

练习2：已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bnan-4。

(1)证明：{an+bn}是等比数列，{anbn}是等差数列；

(2)求{an}和{bn}的通项公式。

解析：(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an

又因为a1+b1=1，所以{an+bn}是首项为1，公比为的等比数列。

由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8，即an+1-bn+1=an-bn+2。

又因为a1-b1=1，所以{an-bn}是首项为1，公差为2的等差数列。

例3在数列{an}中

(1)试比较anan+2与的大小；

解析：(1)由题设知，对任意n∈N*，都有an＞0。

当n≥3时

所以an=a3+(a4-a3)+(a5-a4)+…

点评：此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的；(4)数学归纳法。

练习3：已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段A B的中点为M(1，m)(m＞0)。

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且证明成等差数列，并求该数列的公差。

解析：(1)设，则，两式相减，并由

(2)由题意得F(1，0)，设P(x3，y3)，则(x3-1，y3)+(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(0，0)。

由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m＜0。

又点P在C上，所以，从而

设该数列的公差为d，由题意可得2|d|

所以l的方程为，代入C的方程，并整理得

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、等差数列的性质，第(1)问利用点差法，设而不求可减小计算量，第(2)问由已知得到求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，还考查同学们的计算能力，难度较大。