例说三角函数与其他知识的交汇

■河南省平舆县第一高级中学 裴继东

近几年全国各地高考试题逐渐强调考查创新意识和应用意识，强调理论与实践相统一。一些新颖的试题背景、试题类型在近几年的试卷中从无到有，从零星到常见，从粗糙到精致，这些变化都体现了高考命题在有意识地将新课程的理念落实到高考试题中去。

一、三角函数与平面向量交汇

例1已知a=(53 cosx，cosx)，b=(sinx，2 cosx)，设函数f(x)=a·b+|b|2

(3)将函数y=f(x)的图像向右平移π 12个单位，再将得到的图像上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y=g(x)的图像，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性。

分析：第(1)(2)小题将f(x)化为y=Asin(ω x+φ)+b(ω＞0，A＞0)的形式后，再求函数的值域；第(3)小题要得到函数y=g(x)的解析式可通过函数y=f(x)的图像平移变换得出，再根据定义判断函数y=g(x)的奇偶性即可。

解：(1)f(x)=53 sinxcosx+2 cos2x所以f(x)的值域为则，所以

又g(-x)=5 sin(-2x)=-5 sin2x=-g(x)，故g(x)为奇函数。

点评：本题中剥去平面向量的外衣，实际上是考查三角函数的有关性质、三角恒等变换等知识，同时还考查了函数图像的平移变换，要判断函数的奇偶性常常是根据定义进行。

二、三角函数与平面几何交汇

例2已知函数y=Asin(2x+θ)，其中

(1)若函数f(x)的图像过点求函数f(x)的解析式；

(2)如图1，M、N是函数y=f(x)的图像在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图像上的点，求函数f(x)的最大值。

图1

分析：(1)由函数f(x)的图像过两点，列方程组，求出函数f(x)的解析式；(2)结合平面几何知识先求出点M、N的坐标，再由平面向量的数量积求出A的值。

解：(1)由得，展开整理可得，由可得A=2，所以

(2)过点P作P C垂直x轴于点C，令f(x)=Asin(2x+θ)=0，则2x+θ=kπ，k∈Z。因为M、N两点分别位于y轴的两侧，所以

点评：三角函数与平面几何结合是近几年出现的热点，此类试题常常要由已知条件求图像中的有关点的坐标。根据三角函数图像的周期、与x轴的交点和三角形中的边角关系求解点的坐标。本题第(1)小题已知两点求函数f(x)的解析式，关键是正确求出A，θ，但其求解过程平中见奇。第(2)小题中求函数f(x)的最大值实质是求A的值。

三、三角函数与数列交汇

例3若函数f(x)=3cos2ω x-的图像与直线y=m(m＞0)相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列。

(1)求ω和m的值；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若是函数f(x)图像的一个对称中心，且a=4，求△ABC外接圆的面积。

分析：(1)根据二倍角公式及辅助角公式把函数解析式化简成y=Asin(ω x+φ)的形式，再结合数列知识，求出ω和m的值；(2)先求A再根据正弦定理求R，从而求出三角形外接圆的面积。

解：(1)f(x)=3cos2ω x-sinω x·由题意知，函数f(x)的周期为π，且最大值为m，所以ω=1，m=1。

是△ABC的内角，所以中，设外接圆半径为R，由所以△ABC外接圆的面积

点评：本题中直线y=m与函数y=f(x)的图像相切，由数列知识可得出函数f(x)的周期，在△ABC中，通过点是函数f(x)图像的对称中心，巧妙地将三角函数过渡到解斜三角形。高考题中的很多三角函数题型都有类似的表现手法，回味无穷。

四、三角函数与解析几何交汇

例4已知椭圆0)的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，△A F1F2为正三角形，以A F2为直径的圆与直线y=3x+2相切。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上，若a，b的长恰为椭圆中的a，b的值，求△ABC的面积。

分析：(1)先根据△A F1F2为正三角形，找出a，b，c的关系式，并由直线与圆相切得出a，b，c的另一个关系式，以此建立方程组可求出椭圆方程；(2)由正弦定理、余弦定理求出角C，然后计算△ABC的面积。

解：(1由A(0，b)，F2(c，0)，得A F2的中点解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的标准方程为

又因为0＜C＜π，所以

所以△ABC的面积

点评：求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法等，一般应由已知条件建立关于a，b，c的方程组，求出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程，利用正弦定理或余弦定理通常可把边角关系转化为角角关系或边边关系，第(2)小题求角C时运用了整体代换思想。

五、三角函数与不等式交汇

例5已知是函数f(x)=的两个相邻的零点。

分析：(1)利用二倍角公式，辅助关系式把函数f(x)转化为“一角一名一次”的形式，再求值；(2)由绝对值不等式和函数的恒成立问题求出f(x)的最值，进而得出实数m的取值范围。

由题意知T=π，|ω|=1，因为ω＞0，所以所以

(2)|f(x)-m|≤1，即f(x)-1≤m≤f(x)+1。

所以m的取值范围为

点评：此题中求解三角函数不等式的问题，在近几年全国各省份的高考试题中很少出现，是一个较偏的知识点，关于含参数不等式恒成立的题目，用到两个结论：m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max；m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min。