有限的生命与无限的价值

孙玉芹 刘建军

摘要：详细介绍了大学数学课程中《高等数学》的一个教学案例，从问题的背景知识铺垫开始，讲述了课程教学的主要内容，其中嵌入了数学史的相关知识、数学人文思想的相关介绍，最后对教学内容进行了评析，将纯粹传授数学知识升华到教学理念的哲学层面、人才培养的价值引领和专业课程思政的高度。

关键词：高等数学;教学案例;哲学思维;课程思政

中图分类号：G642.4     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）42-0175-02

一、背景

1.极限概念奠定了高等数学课程的基础。极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子·天下篇》中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想，也是现代微积分中本质的思想。

2.极限的运算提供了高等数学施行的工具。极限是研究变量的变化趋势的基本工具，是人们从有限认识无限的基本方法，本质上是客观世界从量变引起质变过程的一种反映。高等数学中许多基本概念，如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上的。极限方法又是研究函数的一种最基本的方法。

3.清醒地认识无限是哲学思维的一次突破。初等数学与高等数学在有限问题和无限问题上的差别何在？搞清楚这个问题不仅可以提高数学能力，而且可以提升思维素养。用有限的生命创造无限的价值，更是人文精神的进阶。

二、展示

1.利用“割圆术”介绍极限思想。黑板上先画一个圆，在圆内作内接正n边形把圆周等分，一般的把内接正6×2边形的周长记为C（n为自然数）。这样得到一系列内接正多边形的周长，当n越大，越是把圆周分割得细，其内接正多边形的周长就越接近圆周。但是无论n取多大，只要它被取定了，它所对应的正多边形的周长就不是圆的周长，所以必须如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，即设想n无限增大，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。圆的周长是确定的数值，这个确定的数值也可以理解为一列有次序的数（即数列）当n→∞时的极限。

备注1：我国古代（公元3世纪）数学家刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。布置学生研读教科书中用圆的面积作为描述对象的讲解。

备注2：“割圆术”思想与古希腊“穷竭法”不谋而合，在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2边形将圆周率计算到小数点后35位，1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。

备注3：刘徽所处的时代是魏、蜀、吴三国割据的时代，那时候中国的社会、政治、经济发生了极大的变化，特别是思想界，文人学士们互相进行辩难，所以当时一帮文人学士走到一起，一个正方一个反方，提出一个命题大家互相辩论，在辩论的时候人们就研究讨论关于辩论的技术、思维的规律，所以在这一时期人们的思想解放是在春秋战国之后没有过的，这时人们对思维规律的研究特别发达，有人认为这时人们的抽象思维能力远远超过春秋战国。刘徽在《九章算术注》的自序中表明：把探究数学的根源作为自己从事数学研究的最高任务。他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”。“析理”就是当时学者们互相辩难的代名词。刘徽通过析数学之理，建立了中国传统数学的理论体系。众所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系。然而，刘徽的“割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。

2.举例说明数列的各种表现。有的数列通项无论下标变得多大，都看不出确定的趋势，另外有的数列能够看出确定的趋势，由此引出数列极限的精确概念。

3.数列的“ε→δ”定义。设{x}为实数数列，a为确定的数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，总有|x-a|<ε，则称数列{x}收敛于a，定数a称为数列{x}的极限。

备注4：本定义堪称《高等数学》课程中最精妙的定义之一，上文画线的“4句话”是最巧妙的组合，它们的功能各不相同，缺一不可，在此详细讲解四句话在概念中的作用和注意事项。

备注5：定义中的N可能是非常大的数，然而不管它多大，它都是有限的，都与无限具有本质的区别。“无限”的意境可以描述为“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”。

备注6：极限定義中涉及的“无限”，还有哪些怪异的性格呢？提示：自然数集合是无限个元素的集合，自然数中有奇数和偶数，那么子集合偶自然数的数量是母集合自然数数量的一半吗？

备注7：愚公移山的故事说：“子又生孙，孙又生子，子又有孙，子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”引导学生用有限与无限的观点进行描述。

三、评析

1.“体验学习教学法”是授人以渔的教学方法。“体验学习”意味着学生亲自参与知识的建构，亲历过程并在过程中体验知识。学生对知识的理解过程并不是一个“教师传授—学生聆听”的传递活动，学生获取知识的最好途径是学生在亲自“研究”、“思索”、“想象”中领悟知识，在“探究知识”中形成个人化的理解。本次课程从介绍“割圆术”到分析各种各样的数列表现，都是相当具有带入感的过程，再现了历史上该知识的形成过程，也由此传授给了学生自己思考并逐步掌握全部内容的方法，这种“授人以渔”的教学方法也是“为了每一个学生终身发展”的教育理念的体现。

2.用价值观引领知识教育，把握人才培养的正确方向。刘徽割圆术的引用不仅体现在知识教育层面，也是我国两千年文化底蕴的熏陶。数学是人类文明的火车头，社会发展依赖数学的进步，数学能力也是体现公民素质的重要组成部分。备注3的讲解体现了数学文化与社会文化之间的共生与互动。

3.愚公移山故事的内涵与外延诠释了专业思政。愚公讲述的数量表现是有限与无限之间非常形象的比对，然后故事主人公吃苦耐劳、持之以恒的精神也有利于培养合格的社会主义事业建设者和接班人。

4.有限的生命升华为无限的价值。雷锋说：“人的生命是有限的，可是为人民服务是无限的，我要把有限的生命投入到无限的为人民服务之中去。”雷锋在自己的人生中诠释了有限与无限的比较，刘徽也在他有限的生命里给后人留下了无限的价值（知识无价），那么专业课程的教学过程中时常植入这样的理念，习近平总书记提出的“培养什么样的人、如何培养人”的问题也就迎刃而解了。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2014：23-28.

[2]张奠宙，王善平.数学文化教程[M].北京：高等教育出版社，2017：101-103.

[3]新华社.习近平出席全国教育大会并发表重要讲话[EB/OL].http：//www.gov.cn/xinwen/2018-09/10/content_5320835.htm，2018-09-10.