导数和微分之我见

高桂英 刘怡娣

微积分学中两个非常重要的概念——导数和微分，二者之间有区别，也有联系。初学者在导数和微分计算方面掌握的很好，但是导数和微分两个概念的内涵方面往往引起混淆，下面从几个方面谈谈这两个概念。

1 导数与微分的历史渊源

众所周知，牛顿和莱布尼兹两个人在不同领域里从不同的角度创立了微积分思想。微积分是一种数学思想，简单的表述：微分是‘无限细分，积分是‘无限求和。而这里无限就是极限，极限的思想是微积分的基础。我国古代就已经有了微分和积分的思想的萌芽。《庄子》的“天下篇”中，把这种无限的思想表述为“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。从中也可以看出中国古代文化的精髓。但微积分思想的逐渐建立还要从17世纪开始，由于生产实际的需求，数学的研究由常量进入了“变量数学”时代，微积分不断完善成为一门学科，世界各地数学家付出了很多的努力，在这众多的数学家中贡献尤其突出的还是牛顿和莱布尼兹。

牛顿和莱布尼兹两大家从不同的角度创立了微积分思想.牛顿侧重从物理学的角度研究微积分的，在解决运动问题过程中，创立了“流数术”的理论，即借助数学理论解决物理概念，实际上就是微积分理论。“流数术”最先提出是在牛顿1665年5月20目的一份手稿中提到，因而这一天被数学家们看作诞生微积分具有标志性的一天。而德国数学家莱布尼兹采取了与牛顿不同的途径与方法，他着手于研究面积問题，即曲线的切线和曲线所围成的图形的面积，使用分析学方法引进微积分概念，进而得出运算法则的。在微积分的应用上牛顿结合了运动学，比莱布尼兹造诣高一筹，但是莱布尼兹采用数学符号表示微积分却又远远优于牛顿一筹，这些符号的使用既简洁又准确，更好的揭示出微积分的实质，对高等数学的发展起到了强有力地促进作用，可以说莱布尼兹创造的微积分符号，正像阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，对微积分学的发展也起到了促进作用，莱布尼兹是数学史上最杰出的符号创造者之一。

牛顿和莱布尼兹在探讨问题的过程中，都遇到了无穷小量导致的麻烦，直到19世纪用语言量化了极限的概念之后，无穷小量在探讨微积分思想过程中产生的麻烦才得到解决.为此数学家们把在极限概念量化之前的微积分数学史上称为古典微积分，而我们现在普遍使用的微积分是用极限理论加以定义的古典微积分是先定义微分再有的导数，先定义导数再有的微分却是极限微积分的定义过程。

尽管两个伟人在不同领域用不同的方法创立了微积分思想，但是牛顿提出这一思想比莱布尼兹早，而莱布尼兹发表自己的成果要比牛顿在先.在当时信息不是很发达的社会条件下，两个伟大的数学大家为谁是微积分思想的真正创立者，进行了长达十年之间的知识产权之争。但导数和微分，二者在本质上是一样的，仅仅表示形式不同，而微积分体系的另一个方面---积分，是导数（也是微分）的逆运算。

2 导数与微分的之间的区别

古典微积分是先定义微分，在此基础上再定义的导数，所以导数也叫做微商。而相反，极限微积分却是先定义导数，借此基础上再定义的微分，导数的概念用极限重新严格定义后，导数因此就脱离了微商的概念，这时，导数被当成一个整体看待，导数和微分是两个不同的概念，二者研究问题的侧重点也不同，导数是研究函数的变化率问题，微分是研究函数的改变量的问题。

2.1 定义形式不同

导数反映函数在某一点变化快慢的程度，即变化率;而微分则主要是表示函数在某一点的增量（也叫改变量）的近似程度.

2.2 应用不同

函数在某一点的导数表示它在该点的变化率，在不同学科中变化率问题广泛存在，所以凡是涉及到研究变化率的问题都可以用导数来表示，几何上常用的就是上面提到的曲线的切线斜率问题，在物理学中也同样有着广泛的应用，简单地讲位移对时间的变化率是速度，速度对时间的变化率是加速度，旋转的角度对时间的变化率是角速度等等问题，都可以用导数的知识来表示.而微分通常用来进行近似计算。

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3 导数与微分二者的一致性

再者，微分为改变量的主要线性部分 ，更适宜多元函数情形的研究，大家都知道，一元函数可导和可微是等价的。但是对于多元函数而言，可导却是很狭隘的概念，而可微则是深刻的概念，多元函数二者不等价。从一元函数可微向多元函数可微概念延续，还是用无穷小定义为妥.微分概念的引进，有，这样就把本为一体的导数记号，可分解成函数微分与自变量微分之比，这虽说具有一定的形式色彩，但这样的理解无疑给导数的某些运算带来了方便。

从复合函数求导法则来看，有了微分的概念，它就可以改写成，此即无论是自变量还是中间变量，总是成立的，这就是一阶微分形式的不变性。

总之，不管从历史的发展渊源还是精确的导数和微分的定义来看，导数和微分之间都存在着千丝万缕的联系，二者密不可分。

（作者单位：大连理工大学城市学院基础教学部）