圆周角定理及其推论中一类典型问题的延伸

王海燕

摘要：通过在圆周角定理及其推论中一类简单例题的教学中运用一题多变、一法多用和一题多解的延伸式推理教学方法，有效地培养了学生思维的广阔性和创新意识，启发了学生学习的兴趣。

关键词：圆周角定理;典型例题;一题多解;延伸式教学

中图分类号：G633.6           文献标识码：A文章编号：1992-7711（2019）18-067-2

数学知识形成的思维过程，主要体现在问题提出的思维过程和问题解决的思维过程上，教师在教学中充分突出公式、定理的探索过程，让学生有机会思考，直接去感受问题，从而激发学生主动探索、独立揭疑的欲望，使学生能自觉、执著地应用自己已有的基础知识和数学思想，对信息进行分析、归纳、整理，得到解决问题的规律和方法，获得知识，有新的见解，也达到培养学生创新思维的目的。

例1，如图1，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径，求证：AB·AC=AD·AE.

此题是在讲完圆周角定理及其推论后的一则典型例题，这道例题的结论为AB·AC=AD·AE。从结论分析来看，这是等积式，若要证明，则须有成比例线段，结合图形分析来看，可以找三角形相似得对应边成比例，问题在于找哪两个三角形相似。如果找△ABD，在△ABD中包含了两条线段AB，AD，则应该连结EC，找到另一个△AEC，证△ABD与△AEC相似;如果找△ADC，在△ADC中包含了两条线段AC，AD，则应该连结BE，找到另一个△ABE，证△ADC与△ABE相似。

证明：连结BE，因为AE是直径，所以∠ABE=90°.又因为∠ADC=90°，所以∠ABE=∠ADC.又因为∠E=∠C，所以△ABE∽△ADC，得ABAD=AEAC，故AB·AC=AD·AE.

此例题的证明实际证得一个定理.

定理1：三角形任意一边上的高与其外接圆直径的积，等于另两边的积。

单纯证明这道题比较容易，因为从结论出发进行分析时目标比较明确，只要找到对应的三角形即可，若离开这个结论，就不知道该从哪个方面去分析，此定理的延伸与应用在中考与数学竞赛时经常选用，但课本上并未直接给出定理，所以学生在做与本定理相关的题时不易联想到定理与基本图形，给解题带来困难。

例2，如图1，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，AB=b，△ABC的外接圆直径为d，则AD=（ ）。

由已知分析，AB，AC，d与AD的关系很少见，特别是不知道存在何种关系的条件下，该如何分析令学生很头痛，若不记定理或基本图形，直径在图中如何放置都成问题，则不容易完成填空。若将上述内容以定理或延伸的形式展现给学生，使学生对其理解透彻，抓住特征，再遇到类似这种题目时，可以在较短的时间内分析出这道题所应该使用的方法。由AB·AC=AD·d得AD=AB·ACd，可直接完成填空。

例3，如图2，已知△ABC内接于⊙O，AD是BC边上的高，求证：∠BAO=∠DAC。

学生按照思维定势，习惯于连结BO，此时并不存在△ABO与△ADC的相似或全等，使证明无法进行下去。要找到∠BAO=∠DAC，首先看哪些条件与这两个角有关系，从∠DAC出发，这个角在Rt△ADC中是锐角，与∠C互余，那么就看∠BAO是否也在直角三角形中。∠BAO与半径有关系，若延长AO与圆交于点E，可得到直径，由AE为直径，可得到直径所对的圆周角为直角，连结BE，则∠ABE=90°，此时∠BAO在Rt△ABE中，与∠E互余，由同弧所对的圆周角相等，在图2中可看到∠C=∠E，证△ADC与△ABE相似或利用三角形内角和定理即可得到结论。

例4，如图2，AD是△ABC的高，AE是其外接圆的直径，△ABC的面积为S，求证：S=AB·AC·BC2AE.

从结论来看，△ABC的面积为S=12BC·AD，将这一条件与结论放到一起进行分析，12BC·AD=AB·AC·BC2AE可得AD=AB·ACAE，再变形，得AD·AE=AB·AC.此时，要证明的条件与上述定理完全一致，如果记得这个定理，接下来就不需要进一步分析，可直接得到结论，否则，需要按照以上证明的过程继续分析下去。

例5，如图3，AE是△ABC外接圆的直径，弦AF⊥BC于D，∠BAC的平分线AG交⊙O于H，求证：AD·AE=AG·AH.

此题图3中线段较多，若不考虑定理与基本图形，极难理出头绪。所证等积线段在图中并未分布在两个三角形中。所以由证明三角形相似而直接得结论的思路行不通，所以应该考虑通过中间比过渡，因所证结论为AD·AE=AG·AH，

但由定理知AD·AE=AB·AC，要证结论成立，只要证明AB·AC=AG·AH就可得出结论。由图3不难发现在所涉及的4條线段分布于△AHB与△ACG中，而由已知条件并不难证明这两个三角形相似。

思维的广阔性是指思路宽广，善于多角度，多层次地进行探索.根据学生的思维发展，设计一些思维层次相似或递进的不同图形，通过一题多解、一法多用的变式教学，使学生掌握的不仅是一个问题的解决方法，而是一类问题的解决方法。定理1可与函数问题相联系，从复杂的问题中分析出一些特殊条件，使问题变得简单易解。

例6，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD=3，设⊙O的半径为y，AB=x，求：（1）y与x之间的函数关系;（2）当AB的长为多少时，面积最大？并求出⊙O的最大面积。

分析：在（1）中要找到函数关系，就要找到AB，y与其它线段的关系。一般来说，找三角形相似得到成比例线段，在图中有两个直角三角形，若过点A作⊙O的直径，既可得到直角三角形，又可与y联系起来，得到2y·AD=AB·AC.

解：（1）因为AB+AC=12，AB=x，所以AC=12-x.由定理1得2y·AD=AB·AC，即2y·3=x（12-x），所以y=-16x2+2x（0

（2）将上式变形，即y=-16x2=-16x2=-16（x-6）2+6

则当AB=6时，⊙O的半径y最大，y最大=6.当y=6时，⊙O的面积最大，⊙O的最大面积为π·62=36π.