温贮备系统的随机比较

伍 洋， 张正成， 温九红

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

1 预备知识

在可靠性工程中，为提高系统可靠性，常用的方法是给系统贮备冗余元件，构成贮备系统，通常有三种贮备方式：热贮备、冷贮备、温贮备。热贮备是指冗余元件在贮备状态下的环境与其在工作状态下的环境一样，与工作元件构成并联系统，因此在贮备状态下，冗余元件可能会失效；冷贮备是指冗余元件在贮备状态下不工作，失效率为零，当工作元件失效后，接替工作元件工作；温贮备是指冗余元件在贮备状态下处于一个相对温和的环境中，失效率不为零，比其在工作状态下的失效率小，当工作元件失效后，接替工作元件工作。许多学者对热贮备、冷贮备已有了大量研究，如Boland等[1]利用随机序讨论了冷贮备元件在串联(并联)系统中的最优配置问题，Misra和Misra[2]研究了一个热贮备元件在n中取k系统中的最优配置问题。近来，对温贮备系统也有一些研究成果，如Ji等[3]推导出由两个元件构成温贮备系统的可靠度函数表达式，并讨论了当元件服从指数分布时，温贮备元件的最优配置条件，Li等[4][5]研究了一个或两个温贮备元件在串联(并联)系统中的最优配置问题，Hazra和Nanda[6]通过建立的三种模型，得到了温贮备元件在串联(并联)系统中最优配置条件。

其中Yω(X)=[Y-ω(X)|Y>ω(X)]，X|Y的可靠度函数为：

(1)

其中δ(u)=u-ω(u),u≥0，特别地当γ(t)=ω(t)≡0时，式(1.1)为冷贮备系统的可靠度函数，γ(t)=ω(t)≡t时，式(1.1)为热贮备系统的可靠度函数。

2 主要结论

首先，利用随机序比较两个不同冗余元件分别与一个工作元件构成温贮备系统的寿命。设随机变量X为工作元件C的寿命，Y1,Y2分别为冗余元件R1,R2在正常工作环境下的寿命，比较以下两个系统的寿命：T1=X|Y1和T2=X|Y2。

定理2.1如果元件满足以下条件：(1)Y1hrY2，Y1或Y2为IFR；(2)对所有μ≥0,ω1(u)≥ω2(u)，γ1(u)≥γ2(u)，则T1stT2。

证明：根据式(1),对任意,t≥0,有

设Y1为IFR，因为Y1hrY2，ω1(u)≥ω2(u)，则对所有0≤μ≤t

又γ1(u)≥γ2(u)，则

那么

≥0。即证得T1stT2。

推论2.1假设ωi(u)=γi(u)(i=1,2)，上述定理的条件“Y1或Y2为IFR”可省略。如果Y1stY2，对所有μ≥0,ω1(u)≥ω2(u)，则T1stT2。

例2.1假设X,Y1,Y2服从参数为α,β1,β2的指数分布。如果Y1stY2，对所有μ≥0,γ1(u)≥γ2(u)，则T1stT2。

证明：因为Y1stY2，γ1(u)≥γ2(u)，所以

e-β2(t+γ2(u)-u)≥e-β1(t+γ1(u)-u),

考虑冗余元件在串联系统中的最优配置的问题，设随机变量X1,X2分别为工作元件C1,C2的寿命，Y1,Y2分别为冗余元件R1,R2在正常工作环境下的寿命，比较以下两个系统的寿命：

T1=min(X1|Y1,X2)和T1=min(X1,X2|Y2)

Hazra和Nanda[6]推导出，若X1hrX2,Y2hrY1并且满足以下任意条件之一：(1)对于u≥0,γ1(u)γ2(u)且ω1(u)=ω2(u)；(2)Y1或Y2有对数凹(凸)生存函数，且对于u≥0，ω1(u)ω2(u)(ω1(u)≥ω2(u))，γ1(u)γ2(u)，则T1≥stT2。若ωi(u)=γi(u)(i=1,2)，上述条件“Y1或Y2有对数凹(凸)生存函数”可省略。

定理2.2如果X1hrX2,Y1≥stY2,且对所有μ≥0,ω1(u)ω2(u)，则T1≥stT2。

证明：对任意t≥0,

因为Y1≥stY2，对所有μ≥0,ω1(u)ω2(u),则

又X1hrX2，则那么

即证得T1≥stT2。

例2.2假设X1,X2,Y1,Y2服从参数为α1,α2,β1,β2的指数分布。如果X1hrX2，Y1≥stY2且对所有的μ≥0,γ1(u)γ2(u)，则T1≥stT2。

证明：对所有0≤μ≤t,因为Y1≥stY2，γ1(u)γ2(u)则e-β1(t+γ1(u)-u)≥e-β2(t+γ2(u)-u)，又X1hrX2，所以α1≥α2，那么

即证得T1≥stT2。

定理2.3如果X1hrX2,Y1≥hrY2,且ω1(u)=ω2(u),γ1(u)=γ2(u)，则T1≥stT2。

证明：对任意t≥0,

因为Y1≥hrY2，所以

又X1hrX2，所以即证得T1≥stT2。

考虑冗余元件在并联系统中的最优配置，比较以下两个系统的寿命：

T1=max(X1|Y1,X2)和T2=max(X1,X2|Y2)

定理2.4如果X1rhrX2,Y1hrY2,且满足以下条件：

(1)Yi(i=1,2)是IFR；(2)对所有μ≥0,ω1(u)≥ω2(u),γ1(u)≥γ2(u),(i=1,2)；(3)ωi(u)-γi(u)和u-ωi(u)(i=1,2)随u≥0递增，则T2≥stT1。

证明：对任意t≥0,

FT1(t)=P(max(X1|Y1,X2)

因为Y1hrY2，Y1是IFR，ω1(u)≥ω2(u),γ1(u)≥γ2(u),对所有0≤μ≤t,

因为X1rhrX2，所以FX2(t)FX1(u)-FX1(t)FX2(u)≥0,又Y2是IFR，ω2(u)-γ2(u)和u-ωi(u)(i=1,2)随u≥0递增，那么

推论2.2若ωi(u)=γi(u)(i=1,2)，定理3.3中的条件“Yi(i=1,2)是IFR”可省略。如果Y1stY2,X1rhrX2，且对所有的μ≥0,ω1(u)≥ω2(u)，u-ωi(u)(i=1,2)随u递增，则T1stT2。