数列问题中求最值的几个策略

■杨 柳

求解最值问题一般来说是通过函数来达到目的的，而数列是一种特殊的函数，所以数列中许多最值问题的解决也是通过构造函数的方式来解决的，通常情况下是构造二次函数。但是，数列有别于函数的特殊性，有其自身的规则与特性，所以也会有自身独到的解题途径与方式。

一、通过二次函数获取通项的最小值

例1已知数列{an}中，an=2n2-18n+5，它的最小项是( )。

A.第4项

B.第5项

C.第6项

D.第4项或第5项

分析：an=2n2-18n+5=2-，而4和5与的距离相等。答案为D。

点评：利用二次函数解决数列的最值问题时，一定要注意n的取值问题。由于n是整数，故像该题，n就不能取，而是取与相邻的两个整数值4和5。

二、构造二次函数求解前n项和的最小值

例2已知Sn表示数列{an}的前n项和，若对任意的n∈N*，满足an+1=an+a4，且a5=4，则Sn的最小值为( )。

A.6 B.-6

C.2 D.3

分析：在an+1=an+a4中，令n=3，则a4=a3+a4，得a3=0。令n=4，则a5=4=2a4，即a4=2。于是an+1-an=2，故数列{an}是首项为-4，公差为2的等差数列，可得。故n=2或n=3时，Sn的最小值为-6。

点评：等差数列的前n项和公式本身就是一个关于n的二次函数，即Sn=na1+，所以更应当重视通过二次函数求解等差数列前n项和的最值问题。

三、通过通项公式确定前n项和的最小值

例3已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，a4=14，且，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值。

分析：设等差数列{an}的公差为d，则。因为a1=2，所以an=4n-2，则。

因为数列{bn}的首项是-29，公差为2，所以，所以数列{bn}的前n项和Tn的最小值为-225。

点评：数列{an}的通项公式an本身就是一个关于n的函数，当等差数列的公差d＞0时，则等差数列就相当于一个增函数；当等差数列的公差d＜0时，则等差数列就相当于一个减函数。如果明确了从哪项开始为正或为负，就可以获取和的最大值或最小值。