对一道期末试题的拓展研究*

■单和平

2016年《数学思维训练》期末考试最后一题：18.(1)我们熟知平面上一条直线将平面最多分成1+1=2个部分，2条直线将平面最多分成1+1+2=4个部分，3条直线将平面最多分成1+1+2+3=7个部分，…，n条直线将平面最多分成____个部分。

(2)在平面上一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形把平面最多分成8个部分……猜想n个三角形最多把平面分成多少个部分。并证明你的结论。

(3)在平面上一个矩形将平面分成2部分，2个矩形把平面最多分成10部分……猜想n个矩形最多把平面分成多少部分。(直接写出你的结论)

这一问题涉及用一类几何图形去分割另一个图形或者空间，得到的最多区域数是有一定规律的。如何来探究出这些规律，我们往往先从最简单的情况出发，依次递推，尽力寻找相邻两个图形之间的“增量”规律，从而建立起数列递推式，再利用数列知识求出相应的通项公式，其中“增量”的寻求是解决问题的关键。下面我们从简单问题入手，一步一步来探究这类问题的解决方法，寻求“增量”可以从具体图形中逐步抽象概括。假设n个图形分另一个图形的最多区域为an。

1.点、线分割基本图形

(1)点分直线：n个点分直线，最多分成n+1个部分。

(2)同起点的n条射线分已知角最多分成1+2+3+…+n+(n+1)=个角。

2.平面图形分割平面区域

(1)直线分平面：n条直线把平面最多分成1+1+2+3+4+…+n=个部分。

(2)n个圆把平面最多分成n(n-1)+2个部分。

(3)n个角把平面最多分成n(2n-1)+1(n≥2，n∈N)个部分。

(4)(2018年上海交大自主招生题)n条抛物线把平面最多分成n(2n-1)+1个部分。

(5)n个三角形把平面最多分成3n(n-1)+2(n≥2，n∈N)个部分。

(6)n个矩形把平面最多分成4n(n-1)+2(n≥2，n∈N)个部分。

(7)n个五边形把平面最多分成5n(n-1)+2(n≥2，n∈N)个部分。

(8)n个六边形把平面最多分成6n(n-1)+2(n≥2，n∈N)个部分。

(9)n个m边形把平面最多分成m n(n-1)+2(n≥2，m≥3，m，n∈N)个部分。

(10)n个椭圆把平面最多分成2n(n-1)+2(n≥2，n∈N)个部分。

3.平面分空间

(1)n个平面最多把空间分成个部分。

(2)n个超平面最多把时空分成an=个部分。

(3)一个三棱柱各个平面延展把空间最多分成21个部分。

(4)一个正方体各个平面延展把空间最多分成27个部分。

(5)一个直n棱柱各个平面延展把空间最多分成个部分。