由一道中考题展开的复习

吴秋月

摘 要：笔者以2018年山东滨州初中学生学业考试数学试卷第19题为问题背景，在指导解题的过程中，展开了中考的一堂复习课.

关键词：中考;问题;猜想;思路;评析

中考数学的复习课上不但要把脉、确诊，还要导引、疏通，如何提升复习课的效率，让复习成效最大化，成为每一位一线初中数学教师研究的重要课题.

一、问题背景

2018年山东滨州初中毕业考数学试卷第19题，如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=

这是一道矩形中的综合题.看似求线段长，可学生在初解此题时却感到无从下手.求线段的常规方法，无外非勾股定理、相似、三角函数等，为何有着一身力却无用武之地？如何“搭桥牵线”成为解决此题的关键.

因辅助线的添加方法多样，涉及到的知识多，为此笔者借此题展开了一节复习课.

二、复习简析

（一）探究过程

将问题中的已知条件结合图形，发现图形有三个直角三角形，由勾股定理求出线段BE长，再得出EC长，但对于求AF的长有用吗？再看看已知条件，其中“∠EAF=45°”，会想到什么？等腰三角形？特殊角三角函数？

探究1：观察图形，整体、局部寻突破.

问题：观察图形，矩形被几条线段分割出哪些图形？

猜想：矩形的面积可求吗？能利用面积法找出一个代数恒等式吗？

评析：在分析问题时，先将已知量与未知量标注在图形中，观察图形的整体与局部的关系，利用面积法找到带有未知量的代数恒等式.

探究2：构出一线三直角，全等、相似来帮忙.

问题：由“∠EAF=45°”构造等腰直角三角形，还可以怎么做？

猜想：过点F构造一个直角？

解得   ，而后用勾股定理求AF.

评析：构造“一线三直角”模型并渗透构造法，培养学生的“无中生有”创造力.

探究3：手拉手来旋转，全等呈现问题解.

问题：已知“∠EAF=45°”还能联想到什么？

猜想：原图中∠BAD=90°，∠EAF=45°，∠BAE+∠FAD=45°，可以将∠BAE与∠FAD这两个角拼在一起吗？

解得 ，最后用勾股定理求AF.

评析：借助旋转，将两个共端点、不相邻、和为45°的角拼在一成后，即可收获两对全等三角形，再通过“桥梁”——过E点作NM的垂线，构造直角三角形，问题迎刃而解.

探究4：借助直角坐标系，由数释形求线段.

问题：原图若是建立在平面直角坐标系内，能解吗？

猜想：求出线段AF的解析式？

思路：以B为原点，以BC所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴建立直角坐标系. 过E作EG⊥AE交AF于G点，过G作GH⊥BC于H，如图5，先证△AEG是等腰直角三角形，

评析：建立适当的平面直角坐标系，将几何问题代数化，从而为形定位、定量.

探究5：问题：此题还有其他构造相似的方法吗？可以構造子母形相似吗？

（二）复习反思

本节复习课的设计是以问题为中心，结合农村校学生的学情，引导学生观察、猜想、尝试，培养学生的数学思想和数学意识，将所学的知识融会贯通.最后还留个伏笔，让学生再探讨“未尽”.

中国特级教师任勇老师提出数学解题的四个观点：解需有法，解无定法;大法必熟，小法须活;“通法”深刻，“特法”灵活;了解多法，精于一法.

笔者也深有感悟，一道数学题，由于思考的角度不同，可以得到多种不同的解法.与其在浩如烟海的数学题中挣扎，不如在一道题中寻求多种解法，实现会一题会一类题.特别在复习课上，如果能抓住一道题，借题发挥，或一题多解，或一题多变，或一题多用，帮助学生全方面的复习学过的数学知识、定理，促进学生掌握相应的数学思想、方法，形成技能、技巧，培养学生从多层次、多视角、全方位的研究问题、解决问题.

敢问中考复习路在何方？借题发挥试试看！

参考文献：

[1]任勇.数学学习指导与教学艺术[D].北京：人民教育出版社，2005.