聚焦函数与导数高考命题八热点

我们知道，函数的观点和方法既贯穿于高中数学的全过程，又是学习高等数学的基础，所以函数问题一直是高考命题重点与热点.而导数是高等数学最为基础的内容，是中学数学必选的重要知识之一.由于导数应用的广泛性，可为解决所学过的函数问题提供更有效的工具或更一般性的方法，因此在高考中导数与函数“形影不离”.那么从高考命题角度看，函数与导数主要有哪些热点呢？

热点一 函数的性质及应用

例1 （1）（山东省烟台市2019届高三3月）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（14）=1，当x<0时，f（x）=log2（-x）+m，则实数m=    .

（2）（2019年高考天津改编）已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为    .

解析：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（14）=1，且x<0时，f（x）=log2（-x）+m，∴f（-14）=log214+m=-2+m=-1，∴m=1.

（2）∵c=0.30.2<0.30=1，a=log27>log24=2，1

說明：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

热点二 函数的图象

例2 （1）（2019年高考全国Ⅰ卷文数）函数f（x）=sinx+xcosx+x2在[-π，π]的图象大致为（  ）

（2）（北京市朝阳区2019届高三5月模拟）已知函数f（x）=2x，x≥a

-x，x

解析：（1）由f（-x）=sin（-x）+（-x）cos（-x）+（-x）2=-sinx-xcosx+x2=-f（x），得f（x）是奇函数，其图象关于原点对称.

又f（π2）=1+π2（π2）2=4+2ππ2>1，f（π）=π-1+π2>0，可知应为D选项中的图象.故选D.

（2）函数f（x）=2x，x≥a

-x，x

若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）.

说明：对于函数图象同学们要做到以下三点：

（1）会作图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.尤其注意y=f（x）与y=f（-x）、y=-f（x）、y=-f（-x）、y=f（|x|）、y=|f（x）|及y=af（x）+b的相互关系.

（2）会识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.

（3）会用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.

热点三 函数的零点个数问题

例3 （1）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内的零点个数是    .

（2）（2015·江苏）已知函数f（x）=|lnx|，

g（x）=0，0

|x2-4|-2，x>1，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为    .

解析：（1）因为f′（x）=2xln2+3x2>0，所以函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上递增，

且f（0）=1+0-2=-1<0，f（1）=2+1-2=1>0，所以有1个零点.

（2）当0

当x>1时，由|f（x）+g（x）|=1得|lnx|=3-|x2-4|或|lnx|=1-|x2-4|.分别在同一个坐标系中作出函数y=|lnx|与y=3-|x2-4|的图象（如图1）和函数y=|lnx|与y=1-|x2-4|的图象（如图2）.

当x>1时，它们分别有1个、2个交点，故x>1时，方程有3个实根.

综上，方程|f（x）+g（x）|=1共有4个不同的实根.

说明：函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.

热点四 函数的零点（方程的根）与参数的范围 例4 （2019年高考江苏）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数.当x∈（0，2]时，f（x）=1-（x-1）2，g（x）=k（x+2），0

-12，10.若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是    .

解析：作出函数f（x），g（x）的图象，如图所示.由图可知，函数f（x）=1-（x-1）2的图象与g（x）=-12（1

要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根，则f（x）=1-（x-1）2，x∈（0，1]与g（x）=k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同的交点，

由点（1，0）到直线kx-y+2k=0的距离为1，可得|3k|k2+1=1，解得k=24（k>0），

∵两点（-2，0），（1，1）连线的斜率k=13，

∴13≤k<24，

综上可知，满足f（x）=g（x）在（0，9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为[13，24）.

说明：已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数;也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解.

热点五 导数的运算和几何意义

例5 （1）（2019年高考全国Ⅰ卷）曲线y=3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为    .

（2）（2019年高考江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是    .

解析：（1）因为y′=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3（x2+3x+1）ex，

所以切线的斜率k=y′|x=0=3，

则曲线y=3（x2+x）ex在点（0，0）處的切线方程为y=3x，即3x-y=0.

（2）设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.

设点A（x0，y0），则y0=lnx0.

又y′=1x，当x=x0时，y′=1x0，

则曲线y=lnx在点A处的切线为

y-y0=1x0（x-x0），即y-lnx0=xx0-1，

将点（-e，-1）代入，得-1-lnx0=-ex0-1，即x0lnx0=e，

考察函数H（x）=xlnx，当x∈（0，1）时，H（x）<0，当x∈（1，+∞）时，H（x）>0，且H′（x）=lnx+1，当x>1时，H′（x）>0，H（x）单调递增，注意到H（e）=e，

故x0lnx0=e存在唯一的实数根x0=e，此时y0=1，故点A的坐标为（e，1）.

说明：（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

热点六 利用导数研究函数的性质

例6 （2019年高考全国Ⅲ卷）已知函数f（x）=2x3-ax2+b.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，说明理由.

解析：（1）f′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f′（x）=0，得x=0或x=a3.

若a>0，则当x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）时，f′（x）>0;当x∈（0，a3）时，f′（x）<0.故f（x）在区间（-∞，0），（a3，+∞）单调递增，在区间（0，a3）单调递减;

若a=0，f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增;

若a<0，则当x∈（-∞，a3）∪（0，+∞）时，f′（x）>0;当x∈（a3，0）时，f′（x）<0.故f（x）在区间（-∞，a3），（0，+∞）单调递增，在区间（a3，0）单调递减.

（2）满足题设条件的a，b存在.

（i）当a≤0时，由（1）知，f（x）在[0，1]单调递增，所以f（x）在区间[0，1]的最小值为f（0）=b，最大值为f（1）=2-a+b.此时a，b满足题设条件当且仅当b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.

（ii）当a≥3时，由（1）知，f（x）在[0，1]单调递减，所以f（x）在区间[0，1]的最大值为f（0）=b，最小值为f（1）=2-a+b.此时a，b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.

（iii）当0

若-a327+b=-1，b=1，则a=332，与0

若-a327+b=-1，2-a+b=1，则a=33或a=-33或a=0，与0

综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f（x）在[0，1]的最小值为-1，最大值为1.

说明：这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算.注意：求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

热点七 导数与函数零点、不等式的综合

例7 （2019年高考天津）设函数f（x）=lnx-a（x-1）ex，其中a∈R.

（1）若a≤0，讨论f（x）的单调性;

（2）若0

（3）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1>x0，证明3x0-x1>2.

解析：（1）由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），且

f′（x）=1x-[aex+a（x-1）ex]=1-ax2exx.

因此当a≤0时，1-ax2ex>0，从而f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增.

（2）证明：（i）由（1）知f′（x）=1-ax2exx.

令g（x）=1-ax2ex，由0

可知g（x）在（0，+∞）内单调递减，

又g（1）=1-ae>0，且

g（ln1a）=1-a（ln1a）21a=1-（ln1a）2<0.

故g（x）=0在（0，+∞）内有唯一解，从而f′（x）=0在（0，+∞）内有唯一解，不妨设为x0，则1g（x0）x=0，所以f（x）在（0，x0）内单调递增;当x∈（x0，+∞）时，f′（x）=g（x）x

令h（x）=lnx-x+1，則当x>1时，h′（x）=1x-1<0，故h（x）在（1，+∞）内单调递减，从而当x>1时，h（x）

f（ln1a）=ln（ln1a）-a（ln1a-1）eln1a

=ln（ln1a）-ln1a+1=h（ln1a）<0，

又因为f（x0）>f（1）=0，所以f（x）在（x0，+∞）内有唯一零点.又f（x）在（0，x0）内有唯一零点1，从而，f（x）在（0，+∞）内恰有两个零点.

（3）由题意，f′（x0）=0，

f（x1）=0，即ax20ex0=1，

lnx1=a（x1-1）ex1，

从而lnx1=x1-1x20ex1-x0，即ex1-x0=x20lnx1x1-1.因为当x>1时，lnxx0>1，故ex1-x02.

说明：研究函数零点及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具.基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考.

热点八 函数与导数的实际应用

例8 （江苏省南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学试卷）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治.目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园.数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），其中x为每天的时刻.若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6.

（1）求实数m的值;

（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：ln6=1.8）

解析：（1）由题f（6）=29.6，代入

f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），

解得m=12.

（2）由已知函数求导得：

f′（x）=12-xx+600144-x2（x2+144）2

=（12-x）[1x+600（12+x）（x2+144）2]，

令f′（x）=0得x=12，

所以函数在x=12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时.

答：（1）实数m的值为12;（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时.

说明：（1）关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.（2）对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.

（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）