数学解题规范化的途径

【摘 要】本文阐明解决数学解题不规范行为的办法，培养学生解题的规范性习惯，审题时，梳理好题目包含的条件关系;解题时，把握好过程的逻辑关系，清晰解题思路;最后得到答案时，需要检验其正确性，完成好整个解题过程。

【关键词】高中数学 解题规范 对症下药 梳理条件 探究意识

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）08B-0143-02

在高中数学的教学中解答数学题必不可少，学生不仅要得到最终的正确答案，而且要进行更为重要。严格的计算步骤，规范的解题能体现出学生对知识掌握的情况。这个解题过程体现了学生们的解题思路和对数学知识的应用，答案可以猜，但过程是完全凭借学生能力的。然而，在实际的解题时，我们发现很多同学的答题步骤都是不规范的，其中的原因包括题目剖析不清晰、解题思路混淆以及计算失误并无检验，等等。因此，教师需要对症下药，从审题、解题、检验三个角度出发，将数学解题规范化。本文将对这些措施进行简要论述。

一、审题，梳理条件关系

（一）联想，集中知识方法。解决问题的第一步就是正确地审题，审题需要获得什么信息呢？首先学生需要根据题目给出的条件、知识背景思考，知道这个题目应该用哪些我们学到的知识加以解决。接着选择合适的解题方法，一般数学题都可以用多种方法解决，我们要找到最简便的一种。

例如，在讲授高中数学必修一“函数与方程”这一章节中的函数零点的判断部分时，要解答出函数 f（x）=x2-2x-3 有没有零点？有几个零点？首先，我们知道其中联系到的知识有：解一元二次方程、函数图象等。如果按照一元二次方程求零点，则题目可以理解为 x2-2x-3=0 是否有解？有几个解？联系之前学过的知识，我们可以求出 △，当 △>0 时方程有两个实数根，原方程有两个零点;当 △=0 时方程有一个实数根，原方程有一个零点;当 △<0 时方程没有实数根，即原函数没有零点。其次，我们可以分析函数图象，原函数的零点即为函数图象与 x 轴的交点，有几个交点就有几个零点。学生按照这两种方法很快可以得出函数  f（x）=x2-2x-3 有两个零点，并且巩固了解一元二次方程以及函数图象的知识，学会了求零点的方法。

学生将题目所给条件之间的关系剖析清楚，知道题目该运用什么知识、采取怎样的方式加以解决，这就是成功解题的良好开端。从中分析出题目的本质，这个题目想要考查我们什么知识？出题者想让我们用怎样的方法解题？这样就能找到题目的突破口，便于下一步解题。

（二）转化，加强数形互译。学生在审题时需要将文字性描述转化成为数学语言，才能便于接下来解题。一般来说数学题目都比较繁杂，学生需要从中提取出数学符号语言、文字语言以及图形语言，教师在教学过程中详细讲述这些数学符号的意义，提高学生对这些对应知识点的理解程度。

例如，在教授高中数学必修三“古典概型”这一章节时，有一个四位数的密码锁，小明只记得密码是 2，4，6，8 四个数字的组合，不小心忘记了顺序，请问随机输入一组数字，不能打开锁的概率是多少？同学们首先对题目进行分析，密码只有一个，画出树状图可知 2，4，6，8 四个数字可以组成的不同组合一共有 24 个，满足试验中出现的情况是有限个这一条件;而每个数字出现的可能性都是一样大的，都为 ，满足等可能性，因此可以断定本题是一道古典概型题目。小明输入正确密码的可能性为 ，不能打开锁就是密码不正确，与正确密码是一组对立事件，因此其概率为 。学生从题目中分析出有限情况和等可能性这两个条件，可以非常简便地利用古典概型的结论解题。

学生自己探究数形互譯的规律，不断进行练习提高熟练度，这样可以检测到自己在题目理解和数学概念、公式、符号的掌握上存在哪些问题，进而加强针对性学习。将题目简化成数学符号以后，可以更准确地把握住题目考查的本质问题，真正做到对症下药分析问题。

二、解题，讲究前后逻辑

（一）计划性，尝试制定调整。在教学中我发现学生解题步骤杂乱无章，学生往往是看到一个条件能套用某个公式就直接带入，并不清楚这样的计算过程是为了达到什么目的，对于最后的结论有什么帮助。因此，我们在教学中要让学生有计划性地解题，有整体清晰的思路，解题时若遇到瓶颈能够进行适当调整。

例如，高中数学必修五“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”这一章节知识经常用来解答实际最优解问题。某厂生产 A、B 两种产品，已经知道生产的条件限制和产值情况以后，要想解答出怎样在有限的条件下实现产值最大化呢？只有知道条件区域，才能在这个范围里找到最优。因此，学生解题第一步应该先分析题目条件，根据条件列出不等式，通过画图找到范围，即可行域;之后列出产值公式，在图中划出一条直线，这个直线可以在可行域中平移;最后找到距离原点最远的点，其坐标即为产值最大化时 A、B 产品的数量。按照这样的逻辑顺序，学生逐步解题。在实际实施过程中，如果有偏差那么适当调整即可，这样就不会出现无从下手的情况。

学生要认真剖析整个数学题目，在脑海里有一定的思路和完整的解题计划，而不是想到哪里解到哪里。再结合审题时分析出来的题目条件加以运用，得到最后答案。同时也要注意开始时的思路并不是一定正确的，要根据实际情况进行调整，这样才能提高解题的正确率。

（二）衔接性，细化过程语言。分析数学题目时要特别注意衔接性词语，这些词语表现着题目的逻辑顺序，但在实际解题过程中有很多老师学生对此并不十分重视，这会造成题目理解错误或者解题思绪混乱。只有将这些词语转化为数学语言，才能做到按部就班顺序解题，不会遗漏任何关键性的细节。

例如，在教授高中数学必修二“直线的交点坐标与距离公式”这一章节时，分析一道例题：已知直线 l 过直线 y=-x+1 和 y=2x+4 的交点，并且与直线 x-3y+2=0 垂直，求直线 l 的方程。可以看到题目中“并且”两个字表明直线 l 必须要满足过交点和垂直这两个条件，缺一不可。因此学生在解题时首先需要求出交点坐标，将直线 y=-x+1 和 y=2x+4 联立起来解方程组可得直线的交点坐标为（-1，2）;下一步要计算直线 l 的斜率，x-3y+2=0，即 ，根据垂直条件可知这条直线的斜率是直线 l 的斜率的负倒数，则 k=-3。当两个条件都满足可以得到直线 l 的方程为 3x+y+1=0。我们分析题目知道了直线的必备条件，缺一不可，如果题目中是“或者”这样的词汇，则满足一个即可，得到的最后结果也会大为不同，因此学生需要培养对过程语言的敏锐度。

注意衔接性词语，将其转化为数学符号，能在一定程度上避免解题时出现“牛头不对马嘴”的情况。教师在加强训练的过程中要注意引导学生自主完成衔接词汇的寻找和理解，提高他们自主解题能力，使之以后遇到其他问题时也能多加思考。

三、检验，深化探究意识

（一）作出假设，推理其是否存在。在进行探索性问题的求解时，往往先假设某种情况是存在的，然后继续求解，得出最后的结果。但是这时需要注意我们假设的条件的每一步都是可逆的，以保证最后的答案可以反推回去。假设的条件也有一定的技巧，要达到最简便的目的，需要对这种方法加以训练。

例如，在讲授高中数学必修四“函数 y=A sin（ωx+ψ）”这一章节时，要将函数 y=sin x 的图象变换为函数 y=sin（2x+π/3） 的图象可以怎样做呢？根据已经学过的知识，首先需要将 x 变成 2x，即图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1/2;接着根据 2x+π/3=2（x+1/6π）可得：向左平移 1/6π 个单位即可得到最后的图象。在检验时我们假设刚才得到的最终图象是正确的，那么按照原来的过程反推。现将最终图象先向右平移 1/6π 个单位，再将横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不变，看图象是否与原来的图象重合，如果重合，则说明我们得到的答案是正确的，反之错误。可以发现除此之外还有另一种先平移再缩小的方式，请同学们按照刚才的检验过程自己将这个方式实践，更加深刻体会检验的内涵。

通过不断的练习学生能把握住一定的假设技巧，在今后这种类型的题目解答时能够更加得心应手。这是一个顺向思维的过程，一步一步推理验证最后的结果是否存在，也是给我们计算的结果加了一层防护罩，提高解题的正确率，培养学生检验的习惯，便于今后长期发展。

（二）提供反例，制造正反矛盾。在得到最终结论以后需要验证结果的准确性，可以利用反向验证法，即提供一个与原题目相反的实例，在反例中进行推理可以得到另一个结论，这个结论如果与我们之前得到的结论相悖，则原题目解答正确，反之则需要重新核查原解题过程哪一步出了偏差，进行纠正。

例如，在教授高中数学选修 2-3“独立性检验的基本思想及其初步应用”这一章节时，我们看到一个选择题：数列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 等于？很快有人得出结论：由 5-2=3，11-5=6，20-11=9，则 x-20=12，因此 x=32。但是依然有一部分同學刚开始看这道题时并不知道其中的规律，难以下手，考虑到这是一个选择题，答案无非是 A、B、C、D 其中的一个，我们可以假设答案不是 32，而是选项 A，即 28，将它代入原来的数列中去，并没有发现什么规律。接着将其他选项带入，只有 x=32 时可以看到一定的规律符合，因此原来的结论是正确的。这时有同学提出他带入 33 也是这样的规律，于是我们将他的思路写在黑板上分析一下，为什么会出现这样的情况？发现他因为粗心中间有一步计算失误了。

在实际限时测验的过程中留给学生检验的时间是很少的，因此学生设置反例时也要注意其特殊性，争取做到最简洁地得出验证结果。验证结果不需要从头到尾计算完整，只要能够证实我们的原答案是正确的即可，这在一定程度上也节省了解题时间。

总而言之，教师从审题、解题、检验三个方面入手，从学生出现的各种情况对症下药进行纠正，就能逐渐培养他们规范解题的能力。使学生的思路更加清晰、更加富有逻辑性，学会如何合理运用自己获得的知识简明扼要地作答，同时这种能力将伴随学生今后长期的学习生活。

【参考文献】

[1]陈彩堂，陈雪蛟.新课改下高中数学解答题解题规范问题与对策[J].河北理科教学研究，2009（5）

[2]郭从新.高中数学解题规范化的实际应用研究[J].读写算，2016（25）

[3]李庆兵，曾 铮，陈 萍.对高中数学答题规范性问题的思考[J].上海中学数学，2014（7）

[4]冯桂兰.高中数学解题的规范化教学研究[J].内蒙古教育，2015（6）

【作者简介】马丽丽（1983— ），女，汉族，中学一级，现就职于南宁市横县第二高级中学，研究方向：高中数学教学。

（责编 卢建龙）