浅谈不等式的证明方法

申月

摘 要： 不等式是数学中广泛应用的技巧性工具，而不等式的证明则是不等式知识的重要组成内容.本文主要分三大部分阐述不等式的证明方法.在初等数学中，常见证明方法有比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等等.此外，还可利用函数的极值、单调性等来证明不等式.特别的，在高等数学中，证明不等式常用到泰勒公式、中值定理、拉格朗日函数以及一些重要不等式来证明.

关键词：不等式;综合法;函数;中值定理

不等式是数学领域的重要课题，也是分析和解决其他问题的基础和工具.而不等式证明是不等式内容的基石，此类题的题型比较多，证明方法也比较灵活，不拘一格.所以此内容不仅是数学学习中的一个重点，也是一个难点.本论文主要讨论用各种方法证明不等式，通过这些方法的学习，我们可以很好的接触一些常见的数学思想方法，开拓我们的数学思维，使我们对不等式的证明有更深入的了解，有利于我们站在更高的角度研究数学不等式.

一 常见方法

（一）比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，常见有作差比较法和作商比较法两种.

1、 作差比较：

比较两个实数 与 的大小时，可通过判断 的符号来确定.步骤基本为：作差——变形（因式分解、配方、通分、应用已知定理、公式及题设条件等）——判断符号（将结果与零作比较）.

2、作商比较：

一般在 与 均是正数时，可通过 或 来判断大小，步骤基本为：作商——变形（积幂运算等）——判断（将结果与1比较）.

注意：在作差过程中，若将两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差比较大小.总之，可根据具体题目做分析.

（二）分析法

分析法由结果出发，逐步推导使得上一步成立的充分条件，最后与已知、定理、恒成立的结果统一，但要使得每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证： .

证明：要证 ，即证 ，即 ， ，由此逆

推即得 .

注意：分析法是数学中基本的方法，基本思想是“由果索因”，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.在证明对于条件简单而结论复杂的题目时，特别是某些含有根式的不等式时往往更是行之有效的，弥补了其他方法的不足.但在使用这些技巧证明时，要注意遵循不等式性质.另外也要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.

（三）综合法

从已知条件、定理、定义和已将证明的重要不等式出发，利用不等式的性質，逐步推导，最终推出要证的不等式，这就是综合法.即“由因导果”，由已知出发，推得要证不等式.

例4已知： ，求证： .

证明：由 ，知 ，即 ，则 .

在用综合法证明不等式时，要注意运用常见的基本不等式.常见基本不等式有：

⑴ .⑵ 当且仅当 时取等号）.⑶ （ ，当且仅当 时取等号）.

（四）反证法

反证法是证明不等式的一种间接证法.其基本步骤就是：先否定结论，再进行合理的逻辑推理演算，而引出矛盾，进而得证.

假设 ，则 ， ， ，因为 ， 都是正数，所以 ，与 矛盾.

所以有

（五） 放缩法

通过观察不等式的结构形式，相应的把不等式一边扩大或缩小，再利用不等式的性质证明不等式，使得证明过程清晰自然.

在证明过程中，常采用的放缩方法有：⑴添加或舍弃一些正项或负项.⑵先放缩在求和.（先求和在放缩）.⑶先裂项，后放缩.（先放缩，后裂项）.⑷放大或缩小因式.⑸逐项放大或缩小.⑹固定一部分的项，放缩另一部分项.

在使用放缩方法时，首先要确定放缩目标，抓住题目特点，采用适合的放缩方法才能把问题解决.

（六）数学归纳法

如果不等式与自然数 有关，我们不可能就所有自然数加以论证.对于这类不等式，通常采用数学归纳法来解决.这种方法是证明不等式与 有关的有效方法.基本步骤：当 取第一个值时使得不等式成立，若假设使不等式在 时成立，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的所有自然数都能成立.

因此，所要证明的不等式对任何整数 都成立.

要注意数学归纳法有多种形式，也常与其他方法综合运用.它的优点是克服了完全归纳法的繁杂和不可行，又克服了不完全归纳法的不可靠的不足.使我们认识到事物的由繁到简，由特殊到一般，由有限到无穷，可以说是一种科学的方法.但并不是所有含 的不等式都能用数学归纳法.在遇到具体问题时，要多方考虑.

（七） 换元法

换元法就是根据不等式的结构特点，选用适当的变量替换，这样即找到了证明不等式的思路，更加达到了化繁为简，化难为易，而完成某种转换，达到证明的目的.

另外，一些看似复杂无从下手的不等式，可采用三角代换的方法，三角函数含有丰富的性质和公式，巧妙的运用公式，可使不等式变得简单明了.例如三角函数中的三个平方关系： ， ， .可充分利用这三个式子，对形如 这样的式子进行三角代换，进而将一般的代数问题转换为三角问题，顺利解决证明.

（八）判别式法

在不等式中字母指明为实数时，且字母的最高次数为二次或二次以上，可设法构造一个一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式，使不等式中字母作为方程的各项系数（或常数项），有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.

例9 设 ，证明 .

证明：设 ，得关于 的二次三项式 ，

因判别式

，

且二次项系数为正.

故 ，即 .

（九）构造法

所谓构造法，就是通过联想，把问题中要解决的难点构造新的数学形式，使所求的问题发生形式上的转化，再利用已知的数学知识，合理、直观地解决问题.构造法证明不等式其实质是将不等式进行等价转化，它以构造方程、数列、向量、几何图形等作为主要手段.其中在借助几何图形证明不等式时，在图形的启发下，往往可以收到简捷直观的效果，从中得到不等式的证明.

所以 .

因此构造以 、 为根的一元二次方程

解得

二 利用函数证明不等式

（一）函数极值法

通过变换，把一些问题转换为求函数的极值，从而达到证明不等式的目的.

（二）单调函数法

利用函数的导数证明，关键在于如何构造函数，然后在相应区间上用导数的相关知识判断其单调性，再根据相关知识即可得到证明.

（三）中值定理法

利用中值定理： 是在區间 上有定义的连续函数且可导，则存在 ， ，满足 来证明某些不等式.

证明：设 = ，则有 在[0， ]上连续，在 内可导，满足中值定理条件

因此，在该区间 内至少存在一点 ，使得

（四） 利用泰勒公式证明

如果题中不等式是一个复杂函数与多项式的大小关系，可以将这个复杂函数用泰勒公式表示，来比较其大小.

三 利用著名不等式

（一）利用柯西不等式

设有两组实数 和 ，则有

上式就是著名的柯西不等式（又叫柯西---布尼雅科夫斯基不等式），其应用很广泛，尤其对多元不等式的证明，求多元函数的最值等.

证明：由柯西不等式

两边除以 即得证.

（二）利用詹森不等式

例16证明不等式

（三）贝努利不等式

（1）设 实数 且同号，则

特别地，当 ，且 ， 成立.

贝努利不等式在证明重要极限和数列极限时有广泛应用.

综上所述，证明不等式的方法有很多，遇见问题，要细心观察，结合不等式本身的特点，从中发现与已掌握的知识的内在联系，选择适当的方法，顺利找到解决问题的切入点.

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