复杂动力学模型下星载天线跟瞄控制技术研究*

李胤慷，佘宇琛，李 爽，王淑一，陆栋宁

(1. 南京航空航天大学 航天学院·南京·210016；2. 北京控制工程研究所·北京·100190)

0 引 言

随着航天技术的不断发展以及航天器任务的复杂化，航天器上携带的载荷变得越来越复杂，对航天器平台本身的姿态控制需求和姿态指向精度的要求也都在不断增加。运动天线作为航天器最重要的外设附件之一，负责整星与地面控制中心或中继卫星之间的数据传输，是当代高分辨率成像卫星实现大规模载荷数据快速下传的关键部件。然而，运动天线在其对地面站或中继卫星的定向运动过程中，不可避免地会对航天器姿态产生重要影响，是整星姿态扰动的重要来源之一，严重时可能导致整星姿态稳定度无法满足高精度有效载荷的成像要求。不仅如此，星载天线多体系统中的挠性关节、天线反射面挠性以及动力学参数不确定性等不利因素，都会对天线的指向精度造成不可忽略的影响，使得星载天线动态指向精度难以满足未来航天任务需求[1]。针对这一难题，一些学者从研究星载天线机构本身的静态误差出发，对天线的指向精度进行了分析。文献[2]针对存在未知结构变形的星载天线系统，提出了一种基于二阶扩展卡尔曼滤波器的在轨误差校正方法，提高了星载天线的跟踪与指向精度。文献[3]综合考虑卫星姿态控制误差、展开机构误差、双轴驱动机构误差和反射面误差等因素，利用齐次变换矩阵得到天线指向运动学误差等式，从而得到天线指向精度分析的一般方法。文献[4]以星载天线双轴定位机构为对象, 分析了其指向精度的影响因素, 从传动误差、测量误差、安装误差以及热变形误差等方面, 研究了各项精度影响因素的分析模型和计算方法, 建立了指向精度的分析模型。还有一些学者从天线结构的角度出发，分析结构变形对星载天线指向精度的影响。文献[5]推导了柔性关节动态误差非线性动力学模型，并分析了柔性关节动态误差对星载天线的扰动影响。文献[6]通过固定界面法和拉格朗日方法，推导出了大范围运动的星载天线刚柔耦合动力学模型，并分析了柔性天线反射面弹性形变对星载天线的扰动影响。文献[7]针对传动结构含铰间隙的星载天线，提出了一种考虑径向和轴向间隙的转动关节的误差等效模型，并分析了铰间隙对星载天线指向精度的扰动影响。文献[8]考虑热效应对星载天线指向精度的影响，建立了考虑热效应的刚柔耦合动力学模型，并在考虑参数不确定性的影响下设计了自适应控制律。但上述文章都只是单一考虑了某一种扰动因素对天线系统的影响，而现实情况中星载天线处于一个极其复杂的动力学环境之下，所以需要综合考虑各个扰动因素的影响。本文将综合考虑关节挠性、天线反射面挠性以及动力学参数不确定性的扰动影响，从天线系统刚柔耦合动力学建模、指向跟踪控制以及振动抑制等方面研究柔性星载运动部件的指向控制方法。

1 星载天线多体系统动力模型

考虑如图1所示的星载天线多体系统，该系统由基座卫星以及一个二轴自由度的运动天线组成。为了方便对问题的数学描述，建立如下坐标系：

(1)惯性坐标系Oi-XiYiZi：该坐标系中心定义为航天器质心，三轴指向在惯性空间保持不变。这里需要指出，本课题所述的惯性空间采用与空间机械臂研究方式类似的定义模式，认为提供轨道运动的向心力与万有引力完全一致，从而将多体系统在质心附近的位置姿态运动与轨道运动完全解耦处理。不考虑航天器系统本身在太空中所受到的轨道运动和万有引力。即假设航天器是一个自由漂浮状态的空间多体系统。

(2)基座卫星本体系Ob-XbYbZb：该坐标系中心建立在基座卫星质心位置，其三轴指向与基座卫星固连，并指向基座卫星最大、最小惯量轴方向。在任务场景中，航天器姿态指向的定义为基座卫星本体系Ob-XbYbZb与惯性坐标系Oi-XiYiZi之间的相对姿态。

(3)天线坐标系Oa-XaYaZa：该坐标系的中心定义在天线质心位置，三轴指向与天线系统固连。在任务场景中，控制系统所测得的天线指向为天线坐标系Oa-XaYaZa与基座卫星本体系Oi-XiYiZi的相对姿态。

图1 带有运动天线部件的航天器Fig.1 Spacecraft with movable antenna components

航天器的姿态机动可以描述为绕X、Y、Z轴旋转的姿态角φ、ϑ、φ。由基座卫星本体系Ob-XbYbZb到惯性坐标系Oi-XiYiZi的坐标变换可以被通过绕三轴的三次旋转来实现，卫星在惯性系下的坐标可以表示为:

vi=Rx(-φ)Ry(-ϑ)Rz(-φ)vb

(1)

其中vi为卫星在惯性系下的坐标向量，vb为卫星在本体系下的坐标向量，Rx、Ry、Rz为3个基本的坐标变换矩阵。而对于天线的指向的表示则更加复杂，首先需要在惯性系下定义天线指向向量vant_inertial，再通过式(1)将该向量转换到基座卫星本体系下：

vant_bd=Rz(φ)Ry(ϑ)Rx(φ)vant_inertial

(2)

再通过单位向量解算得到在基座卫星本体系下的二轴天线指向参数，即天线方位角δ和倾角σ：

(3)

而天线指向机构的工作则是控制天线的实际指向跟随控制需求δ和σ。

对于带有运动天线的卫星系统这种空间多体系统，一般采用拉格朗日动力学的建模方法：

(4)

上式中，q代表系统广义自由度状态向量，F为系统各自由度所受的广义力，t为时间变量，L则为拉格朗日量，其具体定义为：

L=T-V

(5)

对于自由漂浮的多体系统，我们往往认为其总重力势能为0，因此有：

(6)

上式中mi、Ji、ωi和vi分别代表第i个刚体的质量、转动惯量、相对于惯性系的绝对角速度和线速度，T和V分别代表系统的总动能和总势能。其中，刚体质量和惯量为不随时间变化的动力学参数，而ωi和vi的值可以通过牛顿-欧拉方法求得[9-10]：

(7)

(8)

其中，各个矩阵的定义分别为：

(9)

具体到本文考虑的星载天线多体系统，广义坐标q应该至少包含卫星基座的位置姿态坐标以及天线的方位角，即：

q=(xyzφϑφδσ)T

(10)

式中，x、y、z代表卫星基座在惯性系下的位置坐标，φ、ϑ、φ为卫星基座三轴姿态角。通过上式可知，在不考虑其他扰动的情况下，星载天线多体系统的自由度为8个。

2 动力模型的完善

在实际工程应用中，由于星载天线多体系统中存在挠性关节、天线反射面挠性等扰动影响，多刚体模型不再完全适用，所以需要对动力学模型加以完善。

2.1 考虑关节挠性的影响

挠性关节的结构示意图如图2所示，由图中结构可以看出，当实际控制电机转动时，由于电机与臂杆之间的传动轴具有一定的扭转挠性，会使得传动轴产生扭转形变，从而导致电机的输出力矩无法准确地传递到臂杆上，而是通过一个类似于弹簧阻尼的系统进行传递。这就是挠性关节的由来[11]。

图2 挠性关节结构示意图Fig.2 Sketch of flexible joint structure

为了准确地表达出臂杆上收到的实际控制力矩，必须考虑传动轴的弹性势能，显然式(9)已经不再适用，而使用式(10)中所示的八个自由度不足以对挠性关节进行建模，所以，在原有星载天线多体系统动力学模型的基础上增加两个关节自由度。对于挠性关节来说，如果将其代入拉格朗日动力学方程进行完整的推导，那么推导出来的动力学模型表达式将含有非常复杂的耦合项，这将使控制器的设计变得极其困难。考虑到挠性关节的耦合项的复杂程度，并且对于系统来说耦合项是一个小量，所以实际建模时通常会忽略耦合项[12]，进而得到以下考虑挠性关节的星载天线多体系统动力学模型：

(11)

其中q7,8为两臂杆的转角，θ1,2为控制两臂杆转动的两挠性关节的转角，J为挠性关节的转动惯量矩阵，K为挠性关节的刚度矩阵，F(θ)为作用在挠性关节上的控制力矩[13]。在此模型框架下，系统的广义自由度从8维扩展到了10维。由式(11)可知，控制力(矩)无法直接作用在臂杆上，只能通过控制挠性关节对臂杆间接进行控制。

2.2 考虑天线挠性的影响

星载天线反射面具有面积大、质量小等结构特性，这种结构特性就导致了天线反射面会具有很强的挠性，在天线指向控制的过程中天线反射面的振动会对整个系统造成相当可观的影响，所以必须对天线反射面挠性加以考虑。由于挠性天线反射面实际结构为一个连续体，是一个复杂的无限自由度系统，无法对其动力学进行分析，所以本文运用假设模态法，将天线反射面离散成有限自由度的多自由度系统，并进行适当的模态缩减，在保证系统实质的同时大幅缩减天线反射面的模态，进而简化建模过程[14]。通过有限单元法求得天线反射面的模态矩阵，取前两阶振动模态计算[15]。则天线反射面在发生振动变形后，其质心的速度与角速度都会产生偏离：

(12)

其中，ve、ωe为天线反射面质心相对于惯性系的绝对速度和角速度。Btran、Brot分别为天线反射面的平动挠性耦合矩阵与转动挠性耦合矩阵。ξ为天线反射面的模态坐标。相应的，系统的总动能会增加含模态坐标的项，而系统的总势能变为挠性天线反射面的势能：

(13)

其中，V为系统的总势能，K为天线反射面的刚度矩阵。考虑天线挠性之后依然符合拉格朗日动力学的形式，可以使用拉格朗日方程进行建模，与原本系统动力学模型的不同点在于系统的广义自由度由原来的8维拓展到10维，系统总势能由原来的0变为V，推导可得以下紧凑形式的动力学模型：

(14)

其中，系统的广义自由度为

q=(xyzφϑφδσξ1ξ2)T

(15)

2.3 考虑动力学参数误差的影响

考虑到实际工程中往往会出现动力学模型参数误差，所以需要对动力学参数误差进行建模。星载天线动力学系统所具备的参数主要包括卫星基座质量、转动惯量、质心位置、天线安装位置，以及星载运动天线的质量、转动惯量和质心位置等。看似非常繁多，但是上述所有动力学参数在基于拉格朗日动力学方法的紧凑动力学推导中都可以写成矩阵形式：

(16)

上式中，矩阵Me，De，Ce分别为广义质量矩阵、广义阻尼矩阵和非线性矩阵的误差值。由于所有动力学参数均为定值，因此其误差也是定值。所以上述3个误差矩阵实际上也是定值矩阵。在实际操作过程中，由于所有动力学模型的解算都是基于传感器所测量的速度、加速度来进行计算的，因此传感器的随机误差同样会影响到控制器的设计和精度。

3 星载天线转动控制器设计

星载天线多体系统作为动力学参数已知的系统，可以使用基于计算力矩法的滑模控制策略实现对星载天线的转动控制[16]。利用模型参数值估计误差模型与滑模控制器相结合的方式，进行星载天线转动控制器设计。

星载天线多体系统动力学模型如下：

(17)

根据计算力矩法，设计如下控制律：

(18)

将式(18)代入式(17)，得闭环系统方程为：

(19)

(20)

利用星载天线多体系统的如下动力学特性：

(21)

(22)

(23)

定义

(24)

定义跟踪控制误差：

e=qd-q

(25)

其中qd为系统期望的轨迹，取滑模面为：

(26)

其中，Λ为正对角矩阵。则对应的李雅普诺夫函数为：

(27)

对s求导得：

(28)

若设

(29)

式中d为待设计向量，其作用为切换项，则式(27)变为：

(30)

选取

(31)

则对李雅普诺夫函数求导得：

≤-η|s|≤0

(32)

满足李雅普诺夫稳定。

由此得出如下滑模控制律：

(33)

由于还考虑了关节挠性的存在，注意到在动力学模型里，施加在臂杆上的控制量为0，即只能通过控制挠性关节来间接实现对臂杆的控制，因此需要在上述方法的基础上对控制器系统进行进一步的改进。

由式(11)可知，挠性关节转角只与连杆转角是耦合的，而与星载天线系统基体的姿态无关。即相当于控制力矩只施加在挠性关节上，而连杆转角也只与挠性关节转角有关，即控制力矩无法直接作用于连杆上，而是通过控制挠性关节的转动进而间接控制连杆的转动，此过程构成一个标准的反步法，因此可以使用反步法进行控制律设计。

将式(11)变形为：

(34)

然后令

F7,8=K(θ1,2-q7,8)

(35)

即星载天线系统动力学模型变为：

(36)

由于在上式中挠性关节转角仅与连杆转角是耦合的，可通过之前的不含挠性关节的模型求解出控制连杆转动需要的控制力矩，即式(35)中的F7,8，再将其代入到挠性关节的动力学方程中，可构建一个只含挠性关节的子系统：

(37)

即可通过F7,8求解出控制量F(θ)。

对式(37)设计如下控制律[16]：

(38)

定义Lyapunov函数

(39)

则对式(39)求导得

(40)

将式(38)代入式(40)得

(41)

V(t)=V(0)e-ηt

(42)

4 数值仿真

基于以上所有的动力学模型以及控制算法，分析在不同动力学模型的情况下控制算法的正确性和可靠性。系统的参数为：

表1 动力学参数Tab.1 Kinetic parameters

以表2中所示算例进行仿真验证：

表2 仿真参数Tab.2 Simulation parameters

(a) 卫星基座三轴位置

(b)卫星基座三轴姿态角

(c)天线倾角与方位角

(d)挠性关节转角

(e)天线振动位移

(f)卫星基座三轴位置误差

(g)卫星基座三轴姿态角误差

(h)天线倾角与方位角误差图3 仿真结果Fig.3 Simulation results

5 结 论

本文研究了考虑复杂动力学模型的星载运动天线跟瞄控制问题，利用拉格朗日方法建立动力学模型，并引入动力学参数不确定性，挠性关节以及天线反射面挠性对动力学模型进行了完善。设计了基于计算力矩法的滑模控制器，达到了比较好的控制效果。