基于加权联合灵敏度方法的损伤识别研究

汪振东 绍兴文理学院土木工程系

1 引言

近年来，在民用、机械和航空等众多工程界中，利用实测动态数据进行结构损伤检测已成为一个较为热门的研究方向[1～4]。在目前已经提出的众多根据实测动态数据进行的灵敏度分析方法中，将频率灵敏度与振型灵敏度进行共同分析的联合灵敏度方法有着良好的发展前景[5]。频率与振型联合灵敏度在无误差的情况下对结构损伤的检测定位较为精确，但是在有误差影响的情况下计算结果还是存在较大的误差，而实际工程中误差是必然存在不可避免的，因此，对于联合灵敏度在有误差影响下的改进有着极其重要的意义。在通过灵敏度方法对结构进行损伤识别时，往往会碰到奇异矩阵的计算，而奇异矩阵的计算结果常常导致误差很大，为解决该问题，学者们提出了岭估计方法来进行结果修正，可以在很大程度上提高参数估计的可靠性和稳定性。本文在振型和频率联合灵敏度方法的基础上对其进行加权处理，进而得到一种新的加权联合灵敏度方法，再通过岭估计的方法对新方法的计算结果进行修正，并通过一个有31个单元的结构模型对新的加权联合灵敏度方法进行验证。

2 频率与振型的联合灵敏度方法

本文所涉及的灵敏度方法主要是通过得到结构的频率矩阵和振型矩阵的改变量，从而联合计算得到灵敏度。而固有频率的平方即是特征值，在求解特征值灵敏度问题时，有两个重要的约束方程，公式（1）和（2）：

式中：

K——结构的刚度矩阵；

M— —结构的质量矩阵；

λj— —结构的第j阶特征值；

Φj— —结构的第j阶特征值所对应的特征向量。当结构第i个单元发生结构损伤时，由公式（1）和式（2）对第i个单元的损伤参数求导即可得到：

式中：

αi— —第i个单元的损伤系数；

n— —所取的结构的自由度；

Ki——第i个单元的单元刚度矩阵。

结构某个单元在损伤前后的特征值的变化量Δλ就等于该单元损伤后的特征值去减损伤前的特征值，结构损伤前后的特征向量的变化量ΔΦ也是一样，即：

而结构的一阶特征值和特征向量利用泰勒级数展开，结构损伤前后的特征值和特征向量变化量又可以近似表示成：

式中：

N— —结构所有的总单元数。在这基础上根据结构所测的前m阶模态和r阶自由度，结构的特征值和特征向量的一阶灵敏度S1和S2可以表示成：

将公式（9）和式（10）联立，特征值特征向量两个灵敏度通过拉直运算可以合并到一个矩阵中从而组成一个新的联合灵敏度：

该灵敏度就是特征值与特征向量的联合灵敏度，也就是频率与振型的联合灵敏度。

3 加权联合灵敏度方法

频率与振型的联合灵敏度计算方法同时继承了频率灵敏度和振型灵敏度的优点，在不需要测得所有频率和阵型的时候就可以较为准确的判断是否损伤，通过广义逆运算甚至可以计算结构的损伤程度。

但是在实际运用中，频率与振型的联合灵敏度矩阵中的特征值和特征向量部分在数量级上往往有104左右的差距，数量级上的巨大差距在一定程度上造成了计算时的误差。因此，在计算时在特征值部分乘上一个权系数q[如公式（12），通过缩小特征值和特征向量之间数量级上的差距从而缩小计算误差。而这个权系数应在一定的范围内时起到较小误差的作用，当超出这个范围时，反而会增加误差。

通过对加权频率和振型联合灵敏度广义逆矩阵的计算可以得到结构各单元的损伤程度。

岭估计方法可以很大程度上提高参数估计的可靠性和稳定性。本文将加权带入岭估计方法中，再对计算结果进行修正。

4 算例分析

建立如图1所示的一个有31个单元的结构模型，其中弹性模量E=200GPa，材料密度ρ=7.8×103kg/m3，横向和竖向的直杆的长度L=1m，杆件的截面积A=0.004m2，结构的左下角和右下角均为固支，振型的误差取3%，频率的误差取0.3%，计算时只选取结构的前2阶模态和前10个自由度。通过减少单元的刚度矩阵来模拟损伤，再通过加权联合灵敏度方法计算，然后通过岭估计进行修正。

图1 31个单元结构模型图

将第15号单元的单元刚度矩阵减小30%来模拟第15号单元损伤。由于加权联合灵敏度矩阵的条件数在权系数取1×10-4左右时最小，因此本算例中权系数取1×10-4，通过岭估计修正后的结果如图2。加权联合灵敏度矩阵的条件数为289.7656，而未加权联合灵敏度矩阵条件数往往在105以上，由此可以看出加权方法可以很大程度上减小加权联合灵敏度矩阵的条件数。由图2中可以看出在模态参数较少和有噪声干扰的情况下，加权联合灵敏度方法可以准确地判断出损伤位置，且对于第15号单元损伤程度的计算在0.26左右浮动，与真实值0.3较为接近。

图2 q=1×10-4时计算结果图

5 结论

频率与振型联合灵敏度在无误差的情况下计算结果较为准确，但是在有误差影响的情况下计算结果误差较大，而其误差大的原因之一是计算过程中的灵敏度矩阵特征值部分和特征向量部分数量级上有104左右的差距，数量级上的巨大差距导致矩阵的条件数极大，从而影响计算结果。本文提出的加权频率与振型灵敏度的方法从这个角度入手，通过给灵敏度矩阵的特征值部分加权来减小特征值和特征向量部分的差距，从而减小误差。

通过一个有31个单元的模型算例，模拟单个单元损伤并进行计算，结果表明条件数在权系数取到1×10-4时最小且在该取值下可以准确的识别损伤位置，未损伤单元的误差和损伤单元的的损伤程度计算误差上都较小，但在损伤程度的计算方面还存在一定的误差，如何进一步缩小误差还有待研究。