三数两差经常考 善用概念是妙招

陈新合

“数据的集中趋势和离散程度”这一章的主要内容可以概括为：三数两差。三数指平均数、中位数和众数;两差指极差和方差。它们是中考考查的热门知识点，理解概念是解决这类问题的关键。

一、考查三数的概念及意义

例1 （2019·十堰）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖），则被遮盖的两个数据依次是（）。

[组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 81 77 ■ 80 82 80 ■ ]

A.80，80B.81，80

C.80，2D.81，2

【解析】本题考查平均数和众数的概念。平均数是所有数据的和除以数据的个数;众数是一组数据中出现次数最多的数。根据表格数据可先利用平均数的计算公式求出丙的得分：设丙的得分为x，80×5=x+81+77+80+82，求得x=80，所以丙的得分是80分，则这组数据的众数是80，故选A。

例2 （2019·成都）某校开展了主题为“青春·梦想”的艺术作品征集活动，从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（）。

A.42件B.45件

C.46件D.50件

【解析】本题考查中位数的概念。中位数是指：将这列数按从小到大（或从大到小）排列后，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。所以先将数据按照从小到大的顺序排列：42，45，46，50，50，这组数据有5个，则取中间的数据46，故选C。

口诀：排序小大大小，奇取中偶取均。

例3 （2019·长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛。如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）。

A.平均数 B.中位数

C.众数 D.方差

【解析】本题考查平均数、中位数、众数和方差的意义。平均数表达一组数据的平均水平;中位数表达一组数据的中等水平;众数表达一组数据出现次数最多的数据;方差表达一组数据的稳定程度。根据题意可知比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了，所以根据中位数的意义可知选B。

二、考查两差的概念及意义

例4 （2019·金华）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如下表，则这四天中温差最大的是（）。

[星期 一 二 三 四 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 最低气温 3℃ 0℃ -2℃ -3℃ ]

A.星期一 B.星期二

C.星期三 D.星期四

【解析】本題考查极差的概念。极差是一组数据的最大数据与最小数据的差值。温差就是一天的最高温度与最低温度的差值。星期一：10-3=7（℃）;星期二：12-0=12（℃）;星期三：11-（-2）=13（℃）;星期四：9-（-3）=12（℃）。∵7<12<13，∴这四天中温差最大的是星期三。故答案为：C。

例5 （2019·巴中）如果一组数据为4，a，5，3，8，其平均数为a，那么这组数据的方差为。

【解析】本题考查平均数和方差的概念。一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。求方差的步骤：先平均，再求差，然后平方，最后再平均。计算公式是：s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]（简记：方差等于差方的平均数）。由题意得：先根据平均数的概念确定a的值：[4+a+5+3+85]=a，解得：a=5，则这组数据为4，5，5，3，8，其平均数是5，再根据方差公式进行计算：[15][（4-5）2+（5-5）2+（5-5）2+（3-5）2+（8-5）2]=[145]，故答案为：[145]。

例6 （2019·宁波）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：

[ 甲 乙 丙 丁 x 24 24 23 20 s2 2.1 1.9 2 1.9 ]

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）。

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解析】本题考查平均数和方差的意义。方差是反映一组数据离散程度的量。方差越小，数据的离散程度就越小，稳定性越好。由题意可知：因为甲组、乙组的平均数比丙组、丁组的大，而乙组的方差比甲组的小，所以乙组的产量比甲组的稳定，因此乙组的产量既高又稳定，故选：B。

三、综合考查三数两差

例7 （2019·株洲）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）。

A.2B.3C.4D.5

【解析】根据平均数与中位数的概念，分四种情况：x≤1，1

解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：[15]（x+3+1+6+3）=3，解得x=2（舍去）;

当1

当3≤x<6时，中位数与平均数相等，则得到：[15]（x+3+1+6+3）=3，解得x=2（舍去）;

当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：[15]（x+3+1+6+3）=3，解得x=2（舍去）。

所以x的值为2。故选：A。

例8 （2019·滨州）若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为。

【解析】根据众数的定义先判断出x，y中至少有一个是5，再根据平均数的计算公式求出x+y=11，然后代入方差公式得出答案。

解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，∴x，y中至少有一个是5，∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，∴[16]（4+x+5+y+7+9）=6，∴x+y=11，∴x，y中一个是5，另一个是6，∴这组数据的方差为[16][（4-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（7-6）2+（9-6）2]=[83]，故答案为：[83]。

最后，同学们在处理有关“三数两差”的问题时，务必要明确相关概念以及它们的意义，从它们的概念入手分析问题，寻找解决问题的突破口，问题就可以迎刃而解了。

（作者单位：江苏省苏州市阳山实验初级中学校）