勾股定理和方程更配哦

柏黎平

同学们都知道勾股定理的重要性，它可以用等式a2+b2=c2（其中a、b是直角边，c是斜边）表示直角三角形三边关系。方程思想是初中数学解题的重要思想方法，它利用等式作为数学思维工具解决问题，化未知为已知。勾股定理等式中如果存在未知数，那么它就具备了方程的特性。因此我们在利用勾股定理计算边长时，经常会用到方程思想解决问题。可以说，勾股定理和方程是绝配。下面提供几个实例，供同学们学习研究。

一、直接求边长，“源”来是方程

例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，求AC的长。

解：由勾股定理，AC2+62=102。

解得AC=±8（负值舍去），∴AC=8。

【说明】本题由勾股定理得出的等式AC2+62=102，其中含有的AC就是一个未知数，可以看出方程思想的应用。

例2 如图1，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB上有一点D，BD=10，BC=5，AD+AC=15，求斜边AC的长。

图1

解：设AC=x，则AD=15-x，AB=25-x。由勾股定理可得：

（25-x）2+52=x2，

解得x=13，∴AC=13。

【说明】由勾股定理可知BC2+AB2=AC2，其中BC边为已知边，边AB上的线段BD的长已知，线段AD和AC之间有数量关系，可设未知数，并表示出AD、AC，利用勾股定理构造方程，即可求解。

二、巧设未知数列方程

例3 如图2，小红用一张长方形纸片ABCD进行折叠，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm。当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）。求△ECF的面积。

图2

【分析】要求△ECF的面积，就需要求出Rt△ECF的直角边CF和CE的长。

解：由题意可知，AF=AD=BC=10cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理可得：

BF=[AF2-AB2]=[102-82]=6，

∴CF=BC-BF=4cm。

设CE=xcm，则EF=DE=（8-x）cm;在Rt△ECF中，由勾股定理可得：

42+x2=（8-x）2，解得x=3。

∴S△CEF=[12]CF·CE=[12]×3×4=6cm2。

【说明】本题同样是考查方程思想在勾股定理中的应用。Rt△ECF的边长CE和EF都是未知的量，我们通过设CE的长为x，就可以巧妙地表示出与之有关系的线段DE和EF的长，然后还是利用勾股定理构造方程解决问题。从中可以看出，勾股定理和方程果然是绝配啊。

三、构造直角三角形列方程

例4 如图3，客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A-B-C上的某点E处。已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍。求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？

【分析】由题意可分析得知客轮和货轮的相遇点E必然在线段BC上且靠近点B处，为求出DE的长，需要自主构造所需的直角三角形，利用勾股定理解决问题。考虑到构造出的Rt△DEF有两边未知，因此还是需用方程解决问题。

图3

解：过点D作DF⊥BC于点F，易得DF=CF=BF=100海里。设货轮所行路程DE=x海里，可得客轮所行路程AB+BE=2x海里，于是EF=（300-2x）海里，在Rt△DEF中，有1002+（300-2x）2=x2。

解得：x=200±[10063]。

∵200+[10063]>100[2]（舍去），

∴DE=200-[10063]。

答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200-[10063]）海里。

【说明】本题是一个较为复杂的实际应用问题，其难点有两个：一是构造所需直角三角形;二是需要结合方程思想利用勾股定理求解，与前几个例题不同的是列出的方程是一元二次方程。我们在用方程思想解决问题时，不仅要关注所设的未知数x，更要能较熟练地用含x的代数式表示等式中的其他數量。本题突破点就在于用含x的代数式表示线段EF的长。

其实，在很多几何计算问题中，尤其是解决稍为复杂的问题时，方程思想往往是很重要的选择。同学们在解题时要有方程意识，要善于利用问题中所给的数量关系，构造已知量与未知量之间的等量关系，列出方程解决问题。

（作者单位：江苏省太仓市实验中学）