中考数学创新性问题直击

吕进智

[摘   要]采撷几例中考数学试题，探讨中考数学创新性问题的解题策略，以提高学生的创新能力和综合素养.

[关键词]中考数学;创新性问题;新定义

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）32-0032-02

创新，永远是中考数学命题的主题.在中考数学中，创新性问题主要有阅读理解及新定义型问题、方案设计型问题、动点问题和开放探索性问题等.由于创新性问题注重对考生创新能力和综合素质的考查，因此具有一定难度.那么如何解答这类问题呢？本文举例说明.

一、阅读理解及新定义型问题

数学也需要阅读，也需要考查，于是阅读理解及新定义型问题应运而生.这类问题考查全面，重在考查学生的阅读理解能力、抽象概括能力和数学语言表达能力.

[例1]阅读理解题：

定义：假设一个数的平方等于[-1]，记作[i2=-1]，这个数i称为虚数单位，把形如[a+bi（a，b]为实数）的这个数称为复数，其中a、b分称为这个复数的实部与虚部，其加、减、乘法运算与整式的运算类似.

点评：本题属于阅读理解及新定义型问题，命题者给定一个高中阶段的知识点，让考生经过自学去解决新问题.解阅读理解及新定义型问题的关键应落实在“阅读”“理解”上，解题时考生应仔细阅读信息，并将题中的信息“数学化”;同时感悟其中的数学思想与方法，并形成科学的思维方式和思维策略，从而顺利将问题解决.

二、方案设计型问题

方案设计型问题是中考数学创新性问题的一种典型问题，该问题通常设置一个实际问题的情境，并给出一些信息及提出解决问题的具体要求，以探求最为恰当的解决方案.有时问题中还给出多种不同的解决方案，要求考生思考孰优孰劣.这类问题主要考查考生的动手操作能力和实践能力，具有一定的难度.

[例2]有一块三角形铁片[ABC，BC=12 cm]，高[AH=8 cm]，按如下一、二方案把其制作成一块长方形铁片[DEFG]，且满足长方形的长是宽的2倍，为了避免浪费，制作成的长方形铁片的面积应尽可能大些.试问上面两种方案，哪种更好些？

点评：本题是利用几何图形的方案设计，通过相似三角形的性质和判定、矩形面积计算等知识对两种方案进行比较.熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.方案设计型问题，必须具体问题具体分析.对于讨论材料、合理猜想类问题，一般要求考生进行科学的判断、推理、证明;对于画图设计、动手操作型问题，可以让考生按要求对图形进行合理分割，或设计美观的图案.

三、动点问题

动点问题常常被列为各地中考数学的压轴题之一，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上设计一个或两个动点，并对这些点在运动变化过程中伴随的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考查.动点问题常集几何与代数知识于一体，常用到数形结合、分类讨论等思想，有较强的综合性.

[例3]如图3，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图像大致是（）.

解析：当点[P]在AD上时，[△ABP]的底AB不变，高增大，因此，[△ABP]的面积[S]随着时间t的增大而增大;当点[P]在DE上时，[△ABP]的底AB不变，高不变，因此，△ABP的面积S不变;当点[P]在EF上时，[△ABP]的底AB不变，高减小，所以[△ABP]的面积[S]随着时间t的减小而减小;当点[P]在FG上时，[△ABP]的底AB不变，高不变，所以[△ABP]的面积[S]不变;当点[P]在GB上时，[△ABP]的底AB不变，高减小，所以[△ABP]的面积[S]随着时间t的减小而减小.故选B.

点评：此题为特殊四边形和动点“联姻”的函数问题，涉及矩形三角形的面积、一次函数的性质及方程思想等知识.同时也考查了分类讨论思想. 解题时，第一步，动中寻静[→]在运动变化中找出不变的量及相等的关系，得出相关的常量，并用含变量的代数式表示相关的量 ;第二步，找特殊点（分类讨论） [→]将变化的点按指定的运动路径运动一遍，明确运动过程中的特殊位置以及可能出现的情况 ;第三步，找等量关系[→]利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形的几何性质及相互关系等，确定等量关系; 第四步，列方程[→]将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程，根据所列方程解决相关问题 .

四、开放探索性问题

开放探索性问题，通常是指在已知条件、解题依据、解题方法、求解结论这四个要素中，有缺损，要求考生自行补全，而答案往往不唯一，也就是说答案是开放的.这类问题给考生提供了更为广阔的思维空间，因而一直活跃在中考数学的命题中.

[例4]在四边形[ABCD]中，[∠B+∠D=180°，]对角线[AC]平分[∠BAD].

（1）如图5，若[∠DAB=120°，]且[∠B=90°，]试探究边[AD、AB]与对角线[AC]的数量关系并说明理由.

（2）如图6，若将（1）中的条件“[∠B=90°]”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图7，若[∠DAB=90°]，探究边[AD、AB]与对角线AC的数量关系并说明理由.

点拨：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题.（2）（1）中的结论成立.以C为顶点，AC为一边作[∠ACE=60°，∠ACE]的另一边交AB延长线于点E，仅需证明[△DAC≌△BEC]即可实现问题的解决.

（3）结论：[AD+AB=2AC].过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题.

点评：此题是结论开放探索性问题，主要考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形.解答开放探索性问题时，往往没有一般的解题模式，解题方法也具有不确定性，考生可采用多种思维方法，如顺推、逆推、假设等.需要对问题全方位、多层次、多角度地思考与审视，尽量找到解决问题的方法.

中考数学创新性问题不止以上四种.在平时的教学中，教师应多积累、多研究，引导学生有效掌握相关解题策略，從而顺利拿下此类问题.

（特约编辑 安   平）