几何画板在绘制正弦型函数图像中的运用

钱丽丽

【摘要】正弦型函数是三角函数部分很重要的一个内容，它是三角函数知识点的一个內容深化，但正弦型函数的图像绘制比较烦琐，所以在教学中往往被忽略，不利于学生对三角函数的学习，几何画板则能很好地解决这一问题.本文中通过几何画板绘制正弦型函数静态和动态图像来演示函数图像与它参数间的关系.

【关键词】几何画板;正弦型函数;图像;参数

正弦型函数y=Asin（ωx+φ）在物理和数学教学中都有着很重要的作用.函数中的参数A，ω，φ分别表示物理学上波的振幅、频率和初相，在数学教学中它是在学习三角函数后知识点的一个延伸和补充，也是对三角函数认识的一个深化，但正弦型函数图像的绘制比较烦琐，绘制过程往往被忽略，不利于学生对三角函数学习.使用几何画板制作函数图像有着明显的优势，它能很容易地演示出参数与函数图像间静态或动态的关系，且制作课件过程相对比较简单，不需要掌握高深的编程技巧，文中所用的几何画板为5.06最强中文版，下面运用几何画板的强大功能从函数图像的静态和动态制作来演示函数图像与参数之间的关系.

一、用描点法作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）函数图像

引例 观察摩天轮图片，假设摩天轮的半径为r，旋转的角速度为ω弧度/秒，点P0表示座椅的初始位置，初始角度记为φ，当轮子逆时针旋转t秒后，点P0到达点P位置，则点P对应的纵坐标y与时间t的函数关系式为y=rsin（ωt+φ），作出当r=20，ω=π12φ=π6时相应的函数图像.

分析 相应函数图像为y=20sinπ12t+π6，当我们要作出一个不熟悉的函数图像时，首先想到的是描点法，但用描点法手工绘制正弦函数型图像，不仅计算量大，描点烦琐，且极容易产生误差，借助几何画板的强大功能则能轻松解决这些问题.下面给出具体绘制步骤：

（1）打开几何画板软件，点击菜单栏的“编辑/参数选项”，先把角的单位设置为“弧度”;

（2）建立直角坐标系，“绘图/定义坐标系/隐藏网格”，隐藏网格是为了绘图区显得整洁清晰;

（3）制作表格，先设置参数及对应函数值的初始值，并设定参数t的范围在区间[-30，20]内，取值间隔为0.5，计算出相应的y值做成表格，并根据表格数据绘制点.“数据/新建参数”，设置t=的值为20，得“t=20”，“数据/计算”，输入“20sinπ12t+π6”，结果显示“20sinπ12t+π6=-10”，修改结果的标签为“y=-10”;

（4）同时选中“t=20”和“y=-10”，“数据/制表”，得到表格，选中“t=20”，“右击/属性/参数”，选择键盘“+/-”调节以0.5单位，选中“t=20”和生成的表格，反复按“-”键，直至“t=-30”，继续选中“t=-30”和表格，再反复按“+”键直至表格中的t=20，表格自动生成;

（5）描点：“选中右击表格/绘制表中数据”，即可在坐标系中绘制出相应的点;

（6）连线：在t轴上画一点A，“度量”出A点的横坐标，并“计算”出此时A点对应的函数值，选择A点的横、纵坐标“绘制点”P（xA，yA），选中点P，“显示/追踪绘制的点”，然后双向拖动横轴上的点A，点P的运动轨迹把绘制的点连成一条曲线.

用描点法可作出正弦型函数的静态图，这里用到的列表、描点、连线的方法，也可以用到“五点法作正弦型函数在一个周期内的图像”，但要想知道正弦型函数中各参数与函数图像的关系及参数的改变对图像的影响，必须制作动态的函数图像来讨论.

二、制作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的动态图像

从引例中看出，函数y=Asin（ωx+φ）的三个参数A，ω，φ分别表示摩天轮的半径，旋转的角速度以及动点的初始角度，因此，制作函数图像可以先制作一个半径可调节的圆，圆半径的变化即为A的变化，同时圆上取一动点D，度量∠COD的大小作为初相位φ，随着点D的运动来改变φ，而角速度的变化通过圆的旋转快慢来演示相对比较困难，而且做出的函数图像只能在一个周期内，因此，在下面的绘制中，通过绘制线段条、改变线段的长度来体现.

（1）“绘图/定义坐标系”，设置角度单位为弧度;

（2）绘制可调节大小的圆：过原点作线段OA（如果不限定振幅的最大值可以作射线），在OA上取一点B，选中O，B，“构造/以圆心和圆周上的点”绘制圆O;“隐藏”线段OA，“度量”出OB的距离，标签改为“A”;

（3）设置“振幅增大/缩小”按钮：选中点B，“编辑/操作类按钮/动画”，方向：“向前/向后”，速度：其他/输入0.1.其中方向“向前”表示“振幅增大”，“向后”表示“振幅缩小”，标签设置为“振幅增大”和“振幅缩小”;

（4）绘制初相位角：选中圆O和x轴，“构造/交点”C，在圆周上任作一点D，选中点C和点D，构造—线段，依次选中点C，O，D，“度量—角度”，标签改为“φ”;点击画板左侧的标记工具，在∠COD内做出角的记号;

（5）设置“初相位角正/负”两个按钮：选择点D，“编辑/操作类按钮/动画”，方向：“逆时针/顺时针”，速度：“中速”，标签设置为“初相位正角”和“初相位负角”;

（6）制作角速度条：选中x轴，“构造/轴上的点”，标记为E，选中点E和x轴，“构造/垂线”，在垂线上取一点F，F在E点上方，“隐藏垂线”，“构造”线段EF，在EF上取一点G，G可在线段EF之间运动，选中点E，G，“度量/距离”，标签“EG”改为“ω”;

（7）设置“角速度增大/减小”按钮：选中点G，“编辑/操作类按钮/动画”，方向：“向前/向后”，速度：其他/输入0.02，标签设置为“角速度增大/减小”;

（8）在x轴上画一点M，选中M，“度量/橫坐标”;

（9）求出动点M对应的函数值：“数据/计算”，在弹出的小键盘上输入“A的值”*sin（“ω的值”*“M点的横坐标”+“φ的值”），此时得到点M的函数值;

（10）绘制曲线上的动点P：选中“M点的横坐标”和“M点的函数值”，“绘图/绘制点P”;

（11）选中点P和点M，“构造/轨迹”.

（12）隐藏不需要用到的点和线段.

（13）选择“文件/保存”，文件名为“绘制正弦型函数动态图”.

正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质

如果不追究正弦型函数的参数来源，还可把三个参数都用三个不同的线段条表示出，用改变线段条的长短来改变参数值，其做法与上述做法中角速度的线段条做法相同.

三、绘制函数y=Asin（ωx+φ）的彩色图像

我们在改变初相位，观察函数图像平移的时候，往往会眼花缭乱，除了可在函数图像上做一个标记外，还可以对图像进行色彩设置以示区分.制作方法如下：

（1）打开文件名为“绘制正弦型函数动态图”，“显示/显示所有隐藏”;

（2）选中函数图像，按“delete”键清除图像，选中点P和“φ的值”，“显示/颜色/参数”，弹出“颜色参数”对话框，在“参数范围”栏两个框中分别输入“-3.14”和“3.14”，单击“确定”，关闭对话框.

（3）依次选中点M和点P，“构造/轨迹”，做出正弦型函数图像;

（4）选中点D，“编辑/操作类按钮/动画”，并把标签设置为“改变图像颜色”

（5）选择“文件/保存”，文件名为“绘制正弦型函数的彩色图像”.

四、结束语

用几何画板绘制正弦型函数的方法很多，比如，在给出某个已知函数的情况下，可以利用几何画板中的函数功能直接画出该函数的静态图像，还可以给正弦型函数的三个参数各设置一个初始值，选中参数，制作“动画”按钮，输入让参数更改数据的范围和间隔的时间，设定好了以后，控制按钮，参数值会自动更改，也可呈现出动态效果，能很容易观察参数变化与函数图像变化的关系.因为制作过程比较简单，所以在此就不再另外演示了.

【参考文献】

[1]方其桂.几何画板4课件制作方法与技巧[M].北京：人民邮电出版社，2004.

[2]刘胜利.几何画板与微型课件制作[M].北京：科学出版社，2001.

[3]王永生.应用《几何画板》制作各种正弦型函数[J].赤峰学院学报（自然科学版），2005（12）：17-18.

[4]张锐.用几何画板动态演示正弦曲线[J].师范教育，2003（8）：63-64.