空间第二型曲线积分的计算方法

王红喜，杨 青

(1.陕西职业技术学院 基础课部，西安 710100；2.西安航空学院 理学院，西安 710077)

0 引言

1 常用的计算方法

对于空间曲线积分的计算可分为直接计算法和间接计算法，其中直接计算是指根据曲线L的方程将其化成定积分来计算。间接计算法是指根据曲线积分与路径无关和斯托克斯公式来计算。因此可将空间第二型曲线积分的计算分为以下情形。

1.1 直接计算

这种方法可概括为“选参代入”。

第一步(选参)：常见的空间曲线L的方程类型有参数方程和一般方程[2]。当空间曲线的方程是一般方程时，往往要将一般方程转化成参数方程，这样就选择了参数。

第二步(代入)：把L的方程代入曲线积分中，积分的路径变成了区间，也就是将曲线积分化成定积分。注意这里定积分的下限是曲线L起点处的参数值，上限是曲线终点处的参数值。

一般地，这种方法适用于第二型曲线积分的积分路径规则，易于“选参”，并且代入后定积分容易计算。否则，我们可以考虑使用下面的计算方法。

1.2 应用空间曲线积分与路径无关定理

用直接法计算，将曲线的一般方程写成参数方程时，不是一件容易的事情，即使能写出参数方程，如果被积函数形式复杂，这时将其化成定积分时也难以计算。若空间曲线积分与路径无关，就可以选择恰当的路径来计算积分。

1.3 应用斯托克斯公式

斯托克斯公式将空间闭曲线积分和闭曲线张成的曲面上的曲面积分联系在一起[3]，因此可以应用斯托克斯公式来简化某些第二型曲线积分的计算。

从x轴正向向负向看去取顺时针方向。

(cosα，cosβ，cosγ)是指与∑同方向的单位法向量。

根据L的方向，∑取平面y-xtanα=0，方向指向∑的后侧，故

应用斯托克斯公式计算第二型曲线积分时，通常是将曲线积分化成第一型曲面积分来计算，这时一定要注意闭曲线和它所张成的曲面的方向需符合右手规则。

虽然斯托克斯公式可以将空间曲线积分化成第一型曲面积分来计算，但是如果第一型曲面积分的被积函数比较复杂，那么采取这种方法达不到计算的目的。

2 常见的解题技巧

在计算空间第二型曲线积分时，适当的应用曲线积分的性质会使计算变得简便。

2.1 利用曲线积分的牛顿-莱布尼茨公式

由空间曲线积分与路径无关的四个等价命题知[4]，如果存在一个三元函数u(x,y,z)，使得在Ω内每一点都有du=Pdx+Qdy+Rdz，这时空间第二型曲线积分就可以用终点和起点的函数值的差来计算。只要能求出原函数，就能利用曲线积分的牛顿—莱布尼茨公式计算曲线积分。

2.2 利用性质化成平面曲线积分

根据第二型曲线积分的性质[5]，如果空间第二型曲线积分的积分曲线的方程中出现z=c(y=c或z=c)(这里c是常数)，这时可将z=c(y=c或z=c)先代入空间曲线积分中去，化成平面第二型曲线积分来计算。当然，在适当的条件下，可以用格林公式计算平面第二型曲线积分。

2.3 利用关于坐标面的对称性

命题1 设被积函数是连续函数，L=L1∪L2，L1，L2关于xoy坐标面对称，以xoy坐标面区分，L1，L2的走向相反。则

3 结语

图1 积分曲线示意图

本文主要归纳总结了空间第二型曲线积分的计算方法。首先从直接计算(选参代入)方法入手，然后采用曲线积分与路径无关的条件以及斯托克斯公式来求解空间第二型曲线积分，这样大大增强了计算空间第二型曲线积分的灵活性。最后又归纳总结了空间第二型曲线积分的一些解题技巧。