不定方程x2+4096=4y11的整数解

姜美杨，高 丽

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

设C，D，E∈N，C为无平方因子，关于不定方程

Cx2+D=Eyn(x,y,n∈N,n≥2)

的求解问题是数论中的一个重要问题，许多研究者发现若是用代数数论的方法解决这类不定方程，会取得较好的结果：Ledesgue[1]证明了C=1，D=1时无整数解；Nagell[2]证明了当C=2，D=1，n=5时仅有整数解(x,y)=(±11，3)；2008年高丽和马永刚[3]证明了C=1，D=16，E=1，n=7时无整数解；2014年安晓峰[4]证明了当C=1，D=64，E=1，n=11时无整数解；2015年孙树东[5]证明了当C=1，D=64，E=1，n=13时无整数解；2017年尚旭[6]证明了C=1，D=44，45，46，E=1，n=13时，当D=44，45时无整数解，当D=46时仅有整数解(x,y)=(±64,2)；2018年郑璐等[7]证明了当C=1,D=1024,E=1,n=11时仅有整数解(x,y)=(±32,2)；申江红等[8]证明了当C=1,D=1024,E=4,n=9时仅有整数解(x,y)=(±32,2)。当C=1,D=4096,E=4,n=11,13的情形目前还没有进行讨论，本文运用同余理论以及代数数论[9]等方法证明了不定方程x2+4096=4y11有且仅有整数解(x,y)=(±64,2)。

1 主要引理

引理1[10]设M是唯一分解整环，α，β∈M，(α，β)=1，若αβ=γk，γ∈M，正整数k≥2，则

α=ε1μk，β=ε2υk，μυ∈M，

其中ε1,ε2是M中的单位元素，并且ε1ε2=εk,ε为单位元素。

引理2[7]不定方程

x2+1024=y11

仅有整数解(x,y)=(±32,2)。

2 定理及证明

定理不定方程

x2+4096=4y11

(1)

仅有整数解(x,y)=(±64,2)。

证明分两种情况讨论

(1)当x≡1(mod2)时，在Z[i]中，(1)式可写为

(x+64i)(x-64i)=4y11,x,y∈Z。

设δ=(x+64i,x-64i)，由δ|(2x,128i)=2，得δ只能取1，1+i,2。因x≡1(mod2)，有x+64i≡

1(mod2)，所以δ≠2。如果δ=1+i，那么有

N(1+i)|N(x+64i)，即2|x2+4096，

然而这与x≡1(mod2)矛盾，所以δ=1。

因而由引理1可知

x+64i=4(a+bi)11，x,a,b∈Z，

所以

x=4(a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+

165a3b8-11ab10)

(2)

64=4b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+

55a2b8-b10)

(3)

因此b=±1，±2，±4，±8，±16。

当b=1时，由(3)式可知

64=

4(11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1)，

17=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2)，

要使上式成立，那么必须使得11|17，矛盾，因此b≠1。

当b=-1时，由(3)式可知，

-15=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2),

即11|15，矛盾，因此b≠-1。

当b=2时，由(3)式可知，

210+8=

11(a10-60a8+672a6-1920a4+1280a2)，

要使上式成立，那么必须使得11|210+8，矛盾，因此b≠2。

当b=-2时，由(3)式可知，

210-8=

11(a10-60a8+672a6-1920a4+1280a2)，

上式若要成立，那么必须使得11|210-8，矛盾，因此b≠-2。

当b=4时，由(3)式可知，

410+4=11(a10-240a8+10752a6-

12880a4+32768a2)，

上式若要成立，那么必须使得11|410+4，矛盾，因此b≠4。

当b=-4时，由(3)式可知，

410-4=11(a10-240a8+10752a6-

12880a4+32768a2)，

上式若要成立，那么必须使得11|410-4，矛盾，因此b≠-4。

当b=8时，由(3)式可知

810+2=11(a10-960a8+172032a6-

7864320a4+83886080a2)，

上式若要成立，那么必须使得11|810+2，矛盾，所以b≠8。

当b=-8时，由(3)式可知

810-2=11(a10-960a8+172032a6-

7864320a4+83886080a2)，

上式若要成立，那么必须使得11|810-2，矛盾，因此b≠-8。

当b=16时，由(3)式可知

1610+1=11(a10+3840a8+2752512a6-

503316480a4+21474836480a2)，

上式若要成立，那么必须使得11|1610+1，矛盾，因此b≠16。

当b=-16时，由(3)式可知

1610-1=11(a10+3840a8+2752512a6-

503316480a4+21474836480a2)，

99955602525=a10-3840a8+2752512a6-

503316480a4+21474836480a2，

99955602525=52×3×17×31×41×61681=

a2(a8-3840a6+2752512a4-503316480a2+

21474836480)，

上式若要成立，则a2=1或a2=25。

当a2=1，代入上式

a2(a8-3840a6+2752512a4-503316480a2+

21474836480)=20974268673≠99955602525，

所以a2≠1。

当a2=25时，代入

a2(a8-38340a6+2752512a4-503316480a2+

21474836480)=263815877625≠99955602525，

所以a2≠25，即当x≡1(mod2)时，不定方程(1)无整数解。

(2)在x≡0(mod2)时，可以得出x为偶数。

由引理2知不定方程(1)有整数解(x,y)=(±64,2)。

综上所述，可得不定方程x2+4096=4y11仅有整数解(x,y)=(±64，2)。