最短路径问题中的数学思想

王秋月 李惠莉

我们知道，找最短路径是轴对称知识的一个非常重要的应用.在解决图形周长最值问题时，轴对称的性质也可以起到重要的作用，但是，有些学生做题时对题意理解不清，不能从实际问题中抽象出数学模型，进而造成作图困难.下面，我们就来探讨最短路径问题中利用轴对称进行转化的思路，并从中提炼出解题方法.

一、两定点一条直线

1.两点在一条直线的两侧.

例1 如图1，A.B在直线Z的两侧.在Z上求作一点P，使得PA +PB最小，

解析：根据“两点之间线段最短”，连接AB，线段AB与直线Z的交点P即为所要求作的点，如图2.

2.两点在一条直线的同侧.

倒2 如图3，A，B在直线Z的同一侧，在l上求作一点P.使得PA +PB最小.

解析：如果利用转化思想，把同侧转化为两侧，就能按照两侧找点的方法解决这个问题，如图4，先作出点A关于直线lZ的对称点A，对于Z上的点P.PA =PA，于是把PA+交BC的延长线于点F求证：∠B=∠ CA F.

证明：∵ EF垂直平分AD.

∴ AF=DF.

∴∠ADF=∠DAF

根据叠合三角形的性質，有

∠ADF+ ∠DA F=∠CA F+ ∠ACF.

即2∠ADF=∠ CAF+∠LA CF.

∵AD平分∠BAG.

∴∠BA C=2∠1，

∵ ∠ADF= ∠B+∠1.

∴2（∠B+∠1）=∠CAF+∠ACF.

①

又∵ ∠ACF= ∠B+∠BAC= ∠B+2∠1.

∴ 代人①有∠B=∠ CAF.PB最小的问题转化为PA+PB最小的问题.再连接AB交直线Z于点P，根据“两点之间线段最短”可知，点P即为所求.

二、一定点两条直线

例3

如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°.在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小.

解析：要使△AMN的周长最小，就是使A M+MN+AN最小，可以借助轴对称对AM和AN进行转化.如图6，作A点关于BC和CD的对称点A，A”，连接A'A”，交BC于点M，交CD于点Ⅳ，此时A'M=AM，A”N=AN.根据“两点之间线段最短”，可以知道线段A'A''的长即为△AMN的周长的最小值.

三 建桥选址问题

例4 如图7，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，使从A到B的路径A -M-N-B最短，桥的位置怎么确定？假定河的两岸是平行直线，并且桥要与河岸垂直，

解析：因为河的宽度一定，也就是MN的长度是定值，所以只要AM+NB最小就行了.

可以进行问题的转化，把它转化为两点一线异侧问题，但需要把MN这条定长的线段移走.可以过A作河岸的垂线AH，在垂线上取AI等于河宽MN，问题转化为求I，B两点间的最短路径，连接BI即可得出N点，作MN垂直于河岸交a边于M点.当MN在如图8所示的位置时.AM+MN+NB最小、路径A-M-N-B最短，

四 差的最值

例5 如图9，已知直线Z和位于直线Z两侧的点A，曰，其中点A到直线Z的距离大于点B到直线l的距离，求作直线Z上一点C，使AC-BC最大.

解析：如图10，作点B关于直线Z的对称点B，连接AB并延长，交直线l于点C，则点C即为所求.而对l上其他点C'.AC一BC=AC-B'C，根据“三角形任意两边之差小于第三边”知AC-BC'