数形结合思想在初中数学教学中的渗透

白 辉

(徐州市铜山区伊庄镇中心中学 江苏徐州 221000)

形和数是数学中最基本的两种研究对象[1]。从数学学科的具体特点来看，形与数这两种要素可以在一定条件下实现相互转化。所谓数形结合，主要是指把空间形式的形象直观与数量关系的精确刻画密切结合，并调用几何与代数的双面工具，揭露问题的深层结构，进而达到解决问题的目的的思维活动。从实际的教学情况来看，数形结合作为数学思想最重要的构成内容之一[2]，是贯穿于初中数学教学全过程的重要内容之一，对学生数学学习能力的提高具有十分重要的意义。因此，在组织初中数学教学活动时，教师应对数形结合思想的内涵有更准确的理解，并根据实际的教学内容、学生具体的学习特点实施更有针对性的教学策略，不断完善和优化每一个教学环节，从而循序渐进地促进教学质量的提升。

一、以形化数

初中阶段的数学知识已经具有一定的抽象性与逻辑性[3]。这种知识特点主要是通过数量关系体现出来的。因此，学生有时难以理解和把握数量关系。与之相对应，图形的优势在于直观和形象。在组织初中数学教学活动时，教师可以构建形与数之间的特定结构关系，再根据这种结构关系，将数量问题转化为图形问题，以几何语言的直观形式呈现代数语言，从而避免冗长、复杂的推理或计算，帮助学生理解抽象、晦涩的代数关系。

以“不等式的解集”为例，在此前的学习中，学生已经对“不等式”的相关概念有了初步了解。比如，3x＞50这个不等式，笔者引导学生通过多次试值的方式计算出了解，让学生初步认识到了不等式解的无限性，并借此引出了“解集”的基本概念。为了使学生对不等式的解集有更加直观的了解，笔者将数轴融入这一节的教学中，通过数轴，让学生直观地了解了不等式的解有无限多个，并帮助学生了解了不等式的解集和方程的解之间的区别。而在之后“一元一次不等式组”的教学中，数轴这种几何图形的优势体现得更充分。笔者带领学生根据不等式的性质求出不等式组中两个不等式的解集，然后，将两个解集在同一个数轴上表示出来，数轴上两个解集的公共部分就是不等式组的解集。之后，结合不同情况的数轴，学生可以逐渐归纳出以下规律：同大取大，同小取小，小大大小中间找，小小大大无处找(没有解)。最终，借助数轴，学生对不等式及不等式组的解集有了比较直观的了解。

二、以数变形

尽管图形在表现形式上十分直观和形象，能够将抽象的思维有效呈现出来，但在定量时，学生依然需要借助代数进行计算。也就是说，在数学活动中，单纯的图形模式通常是不具备实际意义的，尤其是在面对一些比较简单或相对复杂的图形时，如果不能从观察中得出结论或规律，那么，研究者就要挖掘图形中的隐含条件，将几何问题转化为数量问题，并通过一定的逻辑推理或分析、计算去解读图形的深层含义。因此，在数形结合模式中，以数变形同样是一种十分重要的形式。

在“线段、角的轴对称性”这一节中，“角平分线的性质”是一个十分重要的知识点。在教学这一知识内容时，笔者引导学生借助平分角的仪器的基本原理(三边对应相等的两个三角形全等)，探索了用尺规绘制角平分线的基本方法。然后，学生动手折纸，进行实践。在操作中，学生观察了折痕的长度(数量)，初步了解了角平分线的性质。接着，笔者设计了这样一个问题：在一张比例尺为1∶20 000厘米的地图上，铁路和公路相交成四个角。如果要在其中任意一个角的所在区域建造一个农贸市场，并使其到铁路与公路的距离均为600米，那么，这个农贸市场应该建于何处？请在图中标示出来。学生根据角平分性质的相关知识自主解答了这个问题。通过解决这个问题，学生熟练掌握了数量计算中角平分线(图形)的性质。

三、形数互变

在初中数学教学中，运用数形结合方法解决一些比较复杂的数学问题时，仅靠“以形化数”或“以数变形”是比较难的。这就需要利用恰当的方式进行数与形之间的相互转化。形数互变的方式可以使学生对相关数学问题产生更加全面的认识，促使学生加深对知识的理解。

如“函数”是初中数学一个非常重要的组成部分。需要指出的是，函数是一个纯代数意义的概念。仅用解析式法或者列表法，学生很难直观了解函数概念的变化过程。而仅用函数图像进行理解，学生又难以深入理解函数的性质。因此，在教学函数内容时，笔者引导学生将函数中的有序实数对(x，y)在平面直角坐标系中一一标注出来，从而将函数关系及其图像结合了起来。利用这种方法，笔者建立了平面图形与函数之间的对应关系，也建立了平面图形特性与函数参数之间的对应关系。以“一次函数”为例，解析式y=kx+b(k≠0)并没有直观体现系数k和常数b对函数变化趋势的影响。于是，笔者引导学生在平面直角坐标系中建立了一次函数图像。根据函数图像经过的象限及直线的变化趋势，学生分析了k、b等数量对函数值的影响。最终，通过形数互变的方法，学生对函数的代数关系及其几何性质有了更加准确的理解。

总体而言，数形结合是初中数学的重要数学思想。教材中很多知识都蕴含着数形结合的方法。因此，在组织初中数学教学活动时，教师应深入挖掘教材内容，利用恰当的方式，将数形结合思想渗透于教学活动全过程中，促使学生数形结合思想不断发展。