关于CopositivePlus张量及其互补问题的研究

刘 康

(天津大学数学学院，天津 300350)

0 引 言

随着现代科学技术的发展，张量(超矩阵)作为矩阵的高阶推广，在化学、医学与神经科学、社会网络分析、高光谱图像以及人脸识别等方面都有着广泛应用．张量互补问题(TCP)作为互补问题的一个特定子类，也引起了广泛关注和研究．

有许多文献对TCP解集的理论性质展开研究，包括解的存在性[1-6]、解的全局唯一性[3,7]、解集的有界性[8]和稀疏解的存在性[2]等．Huang和Qi在文献[9]中给出了张量互补问题的一个重要应用，为TCP的进一步研究提供了动力．

在TCP的研究中，结构张量扮演了重要的角色．很多结构张量已经被引入和研究，其中，具有广泛应用的Copositive张量得到了很多研究[10-14]，文献[14]中给出了Copositive张量在物理和超图领域的应用．特别地，在文献[15]中，作者对Copositive张量的理论、方法及其应用进行了综述．

在以往关于结构张量的研究中，大多数都是将结构矩阵的概念、相关的理论与方法延伸到张量情况．由于张量远比矩阵复杂，有很多矩阵相关的理论不能延伸到张量情况．在本文中，CopositivePlus矩阵的概念被延伸到高阶张量，即引入了CopositivePlus张量的概念，然后讨论了CopositivePlus张量的性质，以及对应张量互补问题解集的性质．

1 预备知识

一个m阶n维张量A=(ai1…im)可以看作是元素ai1…im的多重线性排列，其中ij∈{1,2,…,n}，j∈{1,2,…,m}．如果张量的元素都为实数，则称该张量为实张量；所有m阶n维实张量的集合记作R[m,n]．如果任意置换元素ai1…im的下标i1,…,im，其值保持不变，则张量A=(ai1…im)称为对称张量；如果任意置换元素ai1…im的下标i2,…,im，其值保持不变，则张量A=(ai1…im)称为偏对称张量．

Qi在文献[16]中提出了对称张量特征值的概念，并讨论了相关的性质．从此，掀起了张量谱理论的研究热潮．之后，结构张量、张量互补问题相继引起人们的关注和研究．

对于任意的张量A∈R[m,n]和任意的x∈Rn，Axm-1∈Rn被定义如下：

∀i∈{1,2,…,n}．

对于给定的映射F:Rn→Rn，且q∈Rn，经典互补问题是找到一个x∈Rn使得

x≥0,F(x)+q≥0,xT(F(x)+q)=0.

(1)

本文主要考虑问题(1)在F(x)=Axm-1,A∈R[m,n]的情形．此时问题(1)具体化为

x≥0,Axm-1+q≥0,xT(Axm-1+q)=0，

这被称为张量互补问题，简写为TCP(A,q)，记TCP(A,q)的解集为SOL(A,q)．

定义1.1[1]称张量A∈R[m,n]是Q张量，当且仅当对于所有q∈Rn，张量互补问题TCP(A,q)有解．

在上式中，如果取t=0，称张量A是R0张量．

2 主要结论

2.1 CopositivePlus张量的性质

定义2.1.1[17]矩阵M称为CopositivePlus的，如果下列条件成立：

(1)x≥0,有xTMx≥0；

(2)x≥0，xTMx=0，有(M+MT)x=0．

引理2.1.1[17]如果一个对称Q矩阵是CopositivePlus的，那么它一定是严格Copositive矩阵．

引理2.1.2[17]如果一个矩阵M是CopositivePlus的，那么下列命题等价：

(A)M∈Q;(B)M∈R;(C)M∈R0．

由定义2.1.1引入CopositivePlus张量的概念．

定义2.1.2假设A∈R[m,n]是一个偏对称张量，则A是CopositivePlus张量当且仅当下列条件成立：

由定义2.1.2、引理2.1.1和引理2.1.2有如下定理：

定理2.1.1假设A∈R[m,n]是一个Q张量，如果A是CopositivePlus的，并且TCP(A,0)有非零解，则A不是严格Copositive张量．

定理2.1.2假设A∈R[m,n]是一个Q张量，并且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么A不一定是R张量．

证明：设张量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2为一个3阶2维张量，其元素为a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1．

Ax3=(x1+x2) (x1-x2)2．

由定义2.1.2，知A是CopositivePlus的．首先证明A是Q张量．

假设a,b为任意非负实数，就以下几种情形展开证明．

(1)令q=(a2,b2)T，取x=(0,0)T，显然为TCP(A,q)的解．

(2)令q=(a2,-b2)T，取x=(0,b)T，满足

(3)令q=(-a2,b2)T，取x=(a,0)T，满足

综上，A是Q张量，且A是CopositivePlus的．

另一方面，由q的任意性，取q=(0,0)T，容易验证x*=(1,1)T为解之一，于是有(Ax2)i=0,xi≥0,i=1,2，即x=(1,1)T，t=0为方程组

的解．由定义1.4，可知A不是R张量．

定理2.1.3假设A∈R[m,n]是一个Q张量，且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么A不一定是R0张量．

证明：同定理2.1.2，取A=(ai1i2i3)∈R2×2×2为一个元素为a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1的三阶张量．由定理2.1.2，知A是Q张量且是CopositivePlus的．

由q的任意性，取q=(0,0)T，容易验证x*=(2，2)T也为解之一，可知x=(2,2)T为方程组

的一个解．根据定义1.4，可知A不是R0张量．

2.2 CopositivePlus张量互补问题

基于CopositivePlus矩阵的线性互补问题，Danao[18]证明了其解集的非空有界性，而对于CopositivePlus张量，其相应的张量互补问题未必有界．

首先，本研究将Danao[18]的结论列举如下．

引理2.2.1[18]如果一个Q矩阵是CopositivePlus的，那么它对应的互补问题的解集一定非空有界．

由引理2.2.1，关于张量互补问题，有如下定理：

定理2.2.1假设A∈R[m,n]是一个Q张量，并且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么其解集SOL(A,q)不一定有界．

证明：举一个解集无界的例子进行反证．

设张量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2为一个3阶2维张量，其元素为a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1．故有

由定理2.1.2的证明，知A是Q张量且是CopositivePlus的．

另一方面，由q的任意性可知，取q=(0,0)T，此时，对任意满足(t,t)T，t≥0的向量均为张量互补问题的解，故SOL(A,q)无界，结论得证．

根据定理2.2.1，如果A是Q张量且是CopositivePlus的，那么在什么条件下，一定能保证SOL(A,q)非空有界呢？

不妨假设A的每一个元素都为严格正，下面证明此时SOL(A,q)非空有界．

定理2.2.2假设A∈R[m,n]是Q张量，并且是CopositivePlus的，如果其元素严格正，则其解集SOL(A,q)有界．

证明：利用反证法证明该结论的正确性．

首先假设SOL(A,q)无界． 即存在一个非负向量列{xi},i=1,2,…，xi≠0，‖xi‖→∞使得

3 总 结

本文给出了CopositivePlus张量的定义，并对这类新定义的结构张量的性质进行了研究．对于张量互补问题解集的研究方面，本文也证明了CopositivePlus张量在为Q张量且每一个元素都为严格正时，它对应的张量互补问题的解集是有界的．当然，CopositivePlus张量作为CopositivePlus矩阵在高阶张量的自然推广，作为Copositive张量的一个子类，具有很好的理论性质，理论上还有很多相应的结论值得延伸和探索．