恒成立问题的方法探究与建议

2020-01-18 02:26陈伟丽
数学教学通讯·高中版 2020年10期
关键词:恒成立综合数形结合

陈伟丽

[摘  要] 恒成立问题属于综合性较强的经典问题,综合了数学的众多核心知识、思想方法,其解法也极为灵活,对学生的解题思维要求较高. 文章结合实例讲解恒成立问题的三种常用方法,并提出相应的教学建议.

[关键词] 恒成立;综合;分离变换;数形结合;差值比较

■问题综述

恒成立问题是高中数学的典型问题,该类问题常设定在给定条件下某些结论恒定成立,进而分析关联问题,如参数范围、实数最值、曲线相交点. 该类问题常涉及函数、不等式、方程、图像等知识,融合了换元、转化、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想,对于学生的综合解题能力有着较高的要求. 从问题的知识与思想的综合视角分析,解析突破时主要有以下三个难点:一是问题条件隐晦,难以把握问题切入点;二是综合性强,难以处理关联知识;三是问题解题方法较多,难以准确选用方法来化简. 下面结合实例简单探讨恒成立问题常用的几种方法,构建相应的解题策略.

■方法探析

合理利用解题方法可以挖掘问题条件与结论之间的关联,从而打开解题突破口,构建解题思路. 对于恒成立问题,常用的解法有分离变换法、数形结合法、差值比较法,下面加以探究.

解法一:分离变换法

分离变换是求解恒成立问题常用的方法之一,可用于方程、不等式有解的恒成立问题中,在实际解析时可根据研究的对象进行合理分离,如分离参数、分离整式、分离函数等. 以分离参数为例,解析时首先根据不等式或等式性质将参数分离,将问题变为一边是参数,另一边是变量式的形式;然后求解变量式的最值,并根据其最值来推理参数范围或相应的结论.

例1:已知当m≤2时,不等式2x-1>m(x2-1)恒成立,试求x的取值范围.

解析:题干所涉不等式中含有参数m,解析时可以采用分离参数的方法,只讨论x2-1即可. 分析可知x2-1的符号将直接影响不等式成立的条件,因此需分三种情形加以讨论,具体如下.

①当x2-1>0时,可将不等式变形为■>m,要确保不等式恒成立,只需■>2,可解得1

②当x2-1=0时,可将不等式简化为2x-1>0,从而可解得x=1;

③当x2-1<0时,可将不等式变形为■

综上可知,x的取值范围为■,■.

解法点睛:上述求解不等式恒成立问题时,采用了分类讨论与分离参数相结合的方式,针对数式符号来讨论x的取值. 分离参数法常与其他思想方法结合起来解析问题,除了上述的分类思想外,还包括函数与方程思想.

解法二:数形结合

利用数形结合方法求解恒成立问题的核心是数形对照、数形转换,该方法在求解函数不等式问题时有着良好的解析效果. 求解时常结合不等将其转化为两个函数图像的位置关系,绘制相应的图像曲线,然后通过函数图像、性质分析来推导结论. 而在构建函数时需要注意一定的方法技巧,可以适度移项来构建简洁的函数.

例2:已知f(x)=(x-2)lnx-ax+1,试回答下列问题.

(1)若f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,试求实数a的取值范围;

(2)如果存在唯一的整数x■,使得f(x■)<0恒成立,试求实数a的取值范围.

解析:(1)结合f(x)的导函数,利用函数性质即可确定a的取值. 要使f(x)在(1,+∞)上单调递增,只需f′(x)=lnx+1-■-a≥0,即lnx+1-■≥a在(1,+∞)上恒成立. 令y=lnx+1-■,易知该函数在(1,+∞)上函数单调递增,则只需a≤ymin即可. 当x=1时,y可取得最小值,ymin=-1,所以实数a的取值范围为(-∞,-1].

(2)结合函数解析式可知,不等式f(x■)<0,即(x■-2)lnx■0),h(x)=ax-1,显然g(x)的图像为曲线,h(x)图像为一条直线.

则g′(x)=lnx+1-■,g′(x)在(0,+∞)上单调递增,可知g′(1)=-1<0,g′(2)=ln2>0,因此存在实数m∈(1,2),使得g′(m)=0. 当x∈(0,m)时,g′(x)<0,g(x)在(0,m)上单调递减;当x∈(m,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(m,+∞)上单调递增;所以g(x)的最小值为g(m),其中g(1)=g(2)=0.

h(x)的图像恒过定点(0,-1),显然a>0,图像关系大致如图1所示. 分析可知,若存在唯一的整数x■,使得f(x■)<0恒成立,则需kBC0,所以kAC>kDC. 因为kBC=■,所以■

解法点睛:数形结合方法最为显著的优势是图像直观,可以显著降低思维难度. 其解法核心是移项变形、构造函数、性质解析,其中所构函数的简易将直接影响到后续图像绘制,而性质解析则主要利用函数的单调性、值域.

解法三:函数差值法

函数差值法的核心是作差、建函数,即对于不等式恒成立问题,可以通过移项作差的方式来构建函数,利用函数性质求解. 该方法尤其适用于f(x)>g(x)的问题,通过作差可将其转化为f(x)-g(x)>0的形式,后续则可以据此构建新函数.

例3:已知函数f(x)=■x3-x2+x.

(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;

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