一题多解,智慧再升华

2020-01-18 02:27邵武媚
数学教学通讯·初中版 2020年11期
关键词:一题多解初中数学智慧

邵武媚

[摘  要] 解题能力能充分凸显学生对知识与技能、思想与方法的掌握情况. 在常态教学过程中,我们应通过提问、启发、引领的方式,促进学生养成思维的习惯,完善思维,并逐渐提升解题能力,从而促进思维能力的提升.

[关键词] 一题多解;智慧;素养;初中数学

教学中,教师应深入挖掘试题价值,从多个维度去锁定试题的内在魅力和价值. 某些试题蕴含着很多种解决方法,这些方法有的是一脉相承的,有的是从其他维度去分析而得出的,因此,教师需要从多个维度去剖析试题,只有这样,才能促进学生的成长.

■ 原题呈现,信息转换

例题?摇 如图1,在边长为2■的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,连接EC,FD,G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长为______.

对于题目的呈现,教师需要引导学生从题目中采集关键信息. 这些信息隐含着部分其他信息,需要我们引导学生去分析. 比如,根据题目所给的正方形ABCD的边长为2■,以及E,F分别为AB,BC的中点,就可以很快地得出BE=BF=AE=EC=■,于是EC=FD=■. 又G,H分别为EC,DF的中点,于是有EG=GC=DH=HF=■. 这些信息得出以后,我们还可以发现△EBC≌△FCD,从而获知∠BEF=∠DFC. 因为∠ECB+∠BEC=90°,所以∠DFC+∠ECB=90°. 进而可以证明EC⊥DF.

这些都是我们在解决此题过程中首先分析到的,也是需要首先引导学生重点分析的. 这是我们在读题、解题、析题过程中的第一步,也是基础所在.

■ 策略分析,多元突破

策略是将已知(包括结合已知推出的新内容)与未知之间建构起关键的桥梁,这些桥梁有些需要证明,有些需要转换,还有些需要我们作辅助线等来完成. 就本题而言,我们可以达成的解法达十多种,本题结合几种特殊且具有代表性的解法同大家分享,以此开启一题多解的研讨.

1. 策略一:直接求

记DF和EC的交点为O. 在Rt△CDF中,根据面积法有FC·CD=FD·CO,于是可得CO=■. 根据勾股定理可求出OF=■,所以HO=HF-OF=■-■=■,GO=GC-OC=■-■=■. 在Rt△HGO中根据勾股定理即可求得GH=1.

分析 上述方法是充分利用面积相等的方法求出相关的量,再结合直角关系,采用勾股定理来求解GH的长. 除此以外,我们还可以通过其他方法来进行直接求解,只是这里需要利用辅助线来完成,即连接HC,如图2. 结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”我们发现,HC=HF=■. 在Rt△HOC中根据勾股定理可求得HO=■,接下来就和上面的方法一样,解出GH=1.

2. 策略二:中位线策略

中位线策略在几何图形中还是经常遇到的,尤其是遇到题目信息中有“中点”时. 此时,我们需要充分锁定这一关键信息,并采用构建三角形、梯形等图形,利用中位线的方法来完成,以此满足遇中点,构造中位线的通法. 以下是几种常见的中位线的构造方法,由于方法都比较相似,证明过程省略. 具体辅助线如下:连接CH并延长,交AD于点M,连接EM(如图3);连接DG并延长,交AB的延长线于点M,连接FM(如图4);连接BD,连接FG并延长分别交BD,AD于点M和点N(如图5).

此题的解决方法还有好几种,比如,连接CH并延长,交AD于点N,连接NG并延长到点M,使GM=NG,连接MC;或者连接EH并延长到点M,使HM=EH,连接MC,等等. 这些作出中位线的方法对学生的能力提出了较高的要求,学生心中必须有这么一根中位线,它位于一个特殊的、自主建构的三角形或者四边形中,这种建构将某些量的大小建构起了一个桥梁,这个桥梁也是思维生长的桥梁.

3. 策略三:“斜化正”策略

这种方法相对较难,但在常态的教学过程中,教师还是需要引领学生对这一环节进行思考,因为这在数学解题和训练过程中也属于一种转换法思想,这种思想能引领学生将已知量向未知量转换,且转换的不仅仅是量与量的衔接,更多的是一种思想、一种方法,这种思想和方法决定着学生思维习惯的养成和提升,也决定着思维高度的达成. 比如,我们可以采用如下方法来作辅助线,以此构建相应的正方形,促进未知量的求解:连接GF,过点H作HM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥HM,垂足为N(如图6);连接EH,连接FG并延长交EH于点M(如图7);连接EH,过点G作GN⊥AB,交AB于点N,过点G作GM⊥EH,垂足为M(如图8).

除此之外,我们还可以采用如下方法:过点G作GM⊥AD,垂足为M,过点H作HN⊥AD,垂足为N,过点H作HP⊥GM,垂足为P;连接EH并延长,交CD于点N,过点G作GM⊥CD,垂足为M,过点H作HP⊥GM,垂足为P. 这些方法都可以完成刚才所述的转化和证明.

■ 反思总结,教学相长

结合刚才的分析我们不难发现,刚才的这道题有十余种解法,除了以上方法之外,我们还可以找出更多的解法,比如“建系法”“12345模型法”等. 为此,结合这种现状,我们需要做进一步的分析与反思,以此进一步服务于我们教学行为的深入,也进一步服务于学生学习能力的提升.

1. 教师点拨方法,学生自主交流碰撞

在上述课堂教学活动中,教师只需要在方法层面给予学生适当的点拨,多余的时间和空间留给学生自主思考、交流碰撞、互帮互助,就能让学生在交流的过程中升华思维的火花,促进数学智慧的生长. 这样可以让学生的思维充分发散,也可以让学生的交流达到一个较好的隐性分层效果,确保每个孩子都能在自己的思维生长空间中得到最大限度的提升.

2. 教师引领总结,学生反思归纳通法

方法的总结与归纳是非常重要的. 首先,教师自己要学会总结、反思、提升,另一方面,教师要引领学生学会总结与反思,在对比以上所有的方法以后,对“通法”进行科学合理的分析与总结,让学生在交流中总结解决一類问题的一般方法与流程.

3. 教师自我反思,助推专业素养提升

在多种解法中,教师也要学会反思,让其真正在教师的深入研究中,从而发现题目的“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,结合具体的试题总结出解决问题的通法,并结合特例,总结出最简捷、最有效的特法,将通法与特法相结合,实现一题多解的最大价值.

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