再议加法交换律和结合律

2020-01-25 16:14刘裕良
小学教学参考(数学) 2020年11期
关键词:加法结合律交换律

刘裕良

[摘要]加法交换律和结合律是四则运算里的基础定律,为学生以后学习简算奠定了理论基础,但是,加法结合律与交换律之间却有着微妙的关系,要想彻底厘清两者,需要从定义开始追溯。

[关键词]加法;乘法;结合律;交换律;算序

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068(2020)32-0056-02

笔者阅读《中小学数学》2012年第7、8期刊登的崔海华老师的论文《厘清思考原点 关注运算顺序》(以下简称“崔文”)和2013年第12期杜钦坤老师的教研论文《惹祸的括号》(以下简称“杜文”)后,感慨良多。在经年累月的执教生涯中,上述崔老师和杜老师忧思的问题随处可见,同事也经常为此争得面红耳赤。下面笔者就谈谈个人浅见。

一、运算律引起的辩论

问题争论的焦点集中在三个题目上。

【例1】25+38+75=(25+75)+38,在这個简算变形中,运用了( )。

A.加法结合律

B.加法交换律

C.加法交换与结合律

崔老师和杜老师一致认为,这道简算题单一地运用了加法交换律,选项B是对的。而崔文中又补叙:“假若坚持认为使用的是加法结合律,简算过程的确改变了算序,即先求出第一个和第三个加数的和,再求出与第二个加数的和。然而,一、三两个加数结合起来相加的同时,势必调换了数序,客观上38与75调换了次序。从主次来分,两种运算律的运用,先用的是加法结合律,后用的是加法交换律,因此,若严格来讲,必须设计这样一个选项:加法结合律和加法交换律两相结合。这样看,选项C似乎有些勉强,因为词序颠倒。”作者的意思是,这个题目应该这样应答:加法结合律和加法交换律。认定B选项是没办法的办法,因为原题实在没有如愿提供“加法结合律和加法交换律”这个选项。

【例2】(1)125×7×8=(125×8)×7=1000×7=7000;(2)125×7×8=7×(125×8)=7×1000=7000。这道题中,针对后一种简算法,两位作者提出的观点与大多数教师的看法不谋而合,即先用乘法交换律,再用乘法结合律。出现分歧的是前一种算法,有观点认为单用乘法交换律,有观点认为乘法交换律和乘法结合律两者并用,而上述两位作者则坚持单用乘法交换律的观点。杜文指出:业界之所以普遍认定第一种方法综合运用了两种运算律,是因为因数7和因数8交换位置后,125和8用上了括号,假如不带括号,就是依序计算,添加括号就标志使用乘法结合律,“难道是括号在作怪?”前种简算法下,7和8交换位置后,先算125×8是自然顺序,是通则,四则运算的自然顺序不含结合律,因此只有交换作用,没有结合作用;在(a×b)×c=a×(b×c)中,就算左边的式子无括号,仍不改变先算a×b的既成事实,左边式子中的小括号起到强调重申先算的作用。

二、数序变而算序不变

【例3】23+(45+55)=(45+55)+23运用了什么运算定律?

崔文得出结论:这道题综合运用了加法交换律和加法结合律。论据有三:三个加数的顺序发生巨大变化,全部调整,因此,交换律是不言而喻的;再看算序,虽然都是先算(45+55),但是,左式中,它们分处2、3位,在右式中,分处1、2位,显然,排序发生变化,因此两种运算定律都运用其中。如果先分析算序,先相加后两数,则变成了先相加前两数。因此,毫无疑问用到了加法结合律,而与此同时,三个数的数序打乱了,由此交换律也不可避免非用不可。不管从哪方面说,加法的两个运算律赫然在列,一个都省不了。”杜文认为:“宏观看,两种运算律兼而有之。”给出的论据是:“23+(45+55)=(45+55)+23,不仅三个数的次序统统打乱,而且先求和的(45+55)的次序也由二、三位递进为一、二位,算序发生改变,因此两者都用到。两种运算律息息相关,是第一种变化附带导致第二种改变,算序变化是数序变化引起的副反应、副产物,可以不必纠结,其实左右两个式子,算序都是45+55优先,并没有被其他的算式捷足先登,算序未变,从宏观层面看,单用了加法交换律。”为了证明这一点,先来回顾乘法交换律和乘法结合律的定义。(1)乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积保持不变,用字母表达式表示就是a×b=b×a。(2)乘法结合律:三数相乘,先求出前两个数的积,再计算与第三个数的积,或者先求出后面两个数的乘积,再计算与第一个数相乘的积,结果不发生改变,用字母表达式表示就是(a×b)×c=a×(b×c)。加法交换律和结合律与乘法的类似,不再赘言。通过温习旧知,需要重申以下几点:(1)结合律中左式中的括弧,对算序没起作用,只是为了美观对称,书写时一般不轻易省掉;(2)随着数域的扩展,公式的字母可以表示各种数型,整数、小数、分数均无不可,当然,这些字母既能代表数值,也可表示一个抽象的式子;(3)交换律只改变数序,不改变计算顺次;(4)结合律的作用仅仅是改变算序,而不改变数序。下面就按此逻辑来研磨上述三题。在例1中,左式预定的是求三个数的和,按照正常顺序,要求出25+38的和值63,再用这个和值63与75求和,得到138。而右式(25+75)+38是左式变换之后得到的,变形经过是这样的:25+38+75=25+(38+75)(运用了加法结合律)=25+(75+38)(括号里运用了加法交换律)=25+75+38(去括号)=(25+75)+38,因此这道题综合运用了两种定律。流行观点认为,最后一步用到结合律,笔者不敢苟同,此处没有运用任何定律,只是按正规程序计算,是对加法结合律书写美观需要所致,是习惯问题;第一步才是结合律的落脚点,一般情况下,这一步被自动忽略了。这里,的的确确使用了加法结合律,但这也仅仅属于38和75的结合,而绝非崔文所言第一个和第三个加数结合。38和75先结合起来,再交换位置,两种运算律使用上有先后之别,却无主次之分。

三、加括号原为对称美

对于例2(1),笔者觉得逻辑应该是这样的:125×7×8=125×(7×8)(运用了乘法结合律)=125×(8×7)(运用了乘法交换律)=125×8×7(去括号),之后原式=(125×8)×7=1000×7=7000,所以这道题依然是综合运用了两种运算律。在例2(2)中,显现的是粗线条,而不是整个来龙去脉,但是不能因为出示了粗线条而曲解它,其中(125×8)×7一步,将前面两个因数括起来,有人就想当然觉得是用了乘法结合律。正如前文所言,是为了造成美观效应,按照惯例行事,与运算律一概无关,说是括号引起的误会,实在是冤枉了括号。对于例3,崔文提出,这道题是合用了两种运算律,在引言中,作者是站在三个数的视角来探析;杜文也是如出一辙,分析后说:“……,所以运用了交换律和结合律……”最后又说:“宏观来看,单独使用了乘法交换律。”这段话让人摸不着头脑,莫名其妙。前后矛盾的说法,让人无所适从。其实这个问题也很好解释:23+(45+55)不应视为三个数,而应该把(45+55)视为一个数,也就是一个基础的加法算式(因为原式中把45+55括起来,已然是一个整体),在这里就只涉及加法交换律,没有其他。看成三个数,是站不住脚的,没有看透加法运算本质,浪费时间,最后走进迷宫,只有原地打转,无法逃脱。

以上是笔者个人的分析,望能抛砖引玉,引发广大教师更深入的探讨。

(责编 黄春香)

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