“轻杆”(或“轻绳”)末端速度的分解问题

唐孟强

摘要：“轻杆”（或“轻绳”）末端速度的分解问题，是“运动的合成与分解”中的一个难点和易错点.在处理此类问题时，学生常因搞不清哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而出错.本文针对该类型问题进行简要例析，希望能帮助同学们攻克难关.

关键词：轻杆轻绳合速度分速度

“轻杆”和“轻绳”模型在高中物理的学习中经常遇见.一般情况下，“轻”意思是指质量可以忽略，所受重力可以忽略，“杆”和“绳”模型意思是其形体在同一直线上且其长度是不发生变化.对此，本文对杆（或绳）末端速度的分解问题进行简单探讨，希望能给广大教师提供教学借鉴.

一、两种模型的主要特点

1.轻杆.

（1）轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向.

（2）轻杆不能伸长或压缩.

2.轻绳

（1）轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子.

（2）轻绳不能伸长.

二、杆上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值相等

例1如图1所示，杆AB的A端靠在竖直墙上，B端放在水平面上，此时杆与水平面的夹角为α，且B端滑动速度为VB，求A端的滑动速度VA.

解析：杆A，B放在竖直墙上，A沿墙向下滑动，将A点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，将B点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，如图所示.由几何关系得VA1=VAsinα，VB1=VBcosα.由于VA1=VB1，所以VAsinα=VBcosα即：A端滑动速度VA=VBtanα.

三、绳末端速度的分解问题

绳运动时其末端运动方向即为合速度方向，一般将速度分解成垂直绳和沿绳两个分速度.如人拉船模型.如图2所示，在河岸上利用定滑轮拉绳绳使小船靠岸，拉绳的速度为v，当绳与水平面成θ角时，船的速度V是多少？

解析：船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果：一是A点沿繩的收缩方向运动，二是A点绕O点沿顺时针方向转动.所以，船的实际速度V可分解为：船沿绳方向的V1和垂直于绳的V2，如图3所示.由图可知V=V1cosα=vcosα.

四、末端速度的分解问题延申

掌握绳末端速度的分解问题能进一步解决难度更大的题目（如反射光线的反光点在竖直墙上的移动速度以及绳、杆和铰链组合体运动等问题），可以让学生开阔视野，活跃思维.

例2如图4所示，从竖直墙上的小孔A中沿竖直墙壁方向射出一束光线，照射到平面镜上的O点，开始时平面镜与墙壁平行，两者相距为d，平面镜绕光线入射点O逆时针以角速度ω匀速转动，当转动到与初始位置成22.5°时，墙壁上光点的瞬时速度是多大？

解析：如图4所示，光线经小孔A射到平面镜再反射到竖直墙B点时V光点的实际速度V沿墙竖直向上，把速度V可以分解成垂直光线方向速度V2和沿光线方向速度V1.设∠AOB=θ，依题意得ω光=2ω，θ=π4，V2=ω光OB，OB=dcosθ，V2=Vsinθ.

由以上各式解得V=ω光OBsinθ=2ωd12=4ωd.