广义全渐近严格伪压缩半群的迭代逼近

张树义, 聂 辉, 张芯语

(渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013)

全文设E是实赋范线性空间,其范数为||·||,E*是E的对偶空间.对偶映象Jp:E→2E*(1

1 预备知识

定义1 设C是实赋范线性空间E的闭子集,T:C→C是一映象.称T为半紧的,如果对C中任何有界序列{xn},使得||xn-Txn||→0(n→∞), 则存在子列{xni}⊂{xn},使得xni→x*∈C.

定义2C上的自映象族I:={T(t):t≥0}被称为非扩张半群,如果满足下列条件:

ⅰ)T(t1+t2)=T(t1)T(t2)x,∀t1,t2∈R+和x∈C;

ⅱ)T(0)x=x,∀x∈C;

ⅲ) 对∀x∈C,tT(t)x是连续的;

ⅳ) 对∀t≥0,T(t)是C上的非扩张映象,即对∀x,y∈C,t∈R+,有

||T(t)x-T(t)y||≤||x-y||.

如果这族映象I∶={T(t):t≥0}满足条件ⅰ)～ⅲ),则I被称为:

a) 伪压缩半群, 如果对∀x,y∈C, 存在j(x-y)∈J(x-y),使得

〈T(t)x-T(t)y,j(x-y)〉≤||x-y||2;

b) 一致Lipschitz半群,如果存在有界可测函数L:[0,+∞)→[0,+∞),使得对∀x,y∈C和t≥0,有

||Tn(t)x-Tn(t)y||≤L(t)||x-y||,n≥1;

c) 严格伪压缩半群,如果存在有界函数λ:[0,+∞)→[0,+∞)和对∀x,y∈C,存在j(x-y)∈J(x-y),使得对∀t≥0,有

d) 全渐近严格伪压缩半群,如果存在有界函数λ:[0,+∞)→[0,+∞)和序列 {μn}⊂[0,∞)和{ξn}⊂[0,∞),μn→0和ξn→0(n→∞),对∀x,y∈C,存在j(x-y)∈J(x-y),使得对∀t≥0,n≥1,有

〈Tn(t)x-Tn(t)y,j(x-y)〉≤

||x-y||2-λ(t)||(I-Tn(t))x-

(I-Tn(t))y||2+μnφ(||x-y||)+ξn,

其中φ:[0,+∞)→[0,+∞)是连续且严格增加的函数,φ(0)=0;

e) 渐近严格伪压缩半群,如果存在有界函数λ:[0,+∞)→[0,+∞)和序列{kn}⊂[0,+∞),kn→1(n→∞),对∀x,y∈C,存在j(x-y)∈J(x-y),使得对∀t≥0,n≥1,有

〈Tn(t)x-Tn(t)y,j(x-y)〉≤kn||x-y||2-λ(t)||(I-Tn(t))x-(I-Tn(t))y||2.

xn=αnu+(1-αn)T(tn)xn,∀n≥1,

(1)

xn+1=(1-αn)xn+αnT(tn)xn,∀n≥1,

(2)

xn+1=(1-αn)xn+αnTn(tn)xn,∀n≥1,

(3)

证明了定理1.

对定理1,我们指出:

表明定理1中条件ⅱ)不满足.因此,定理1需要改进.

近几年我们使用新的分析方法,在文献[7-9]中用映象满足条件(A′)代替半紧的条件,建立了严格伪压缩映象迭代序列强收敛定理.另一方面,文献[10-18]使用新的分析方法,研究了几类非线性映象不动点的迭代逼近问题.受上述工作的启发,本文在赋范线性空间中引入并研究了广义全渐近严格伪压缩半群和带误差的显式迭代序列的收敛性,使用新的分析方法建立了广义全渐近严格伪压缩半群和具误差的显式迭代序列的强收敛性定理,改进和扩展了Chang等[4]和Yang等[5]的研究成果.

首先引入了一类新的广义全渐近严格的伪压缩半群.

定义3 如果映象集合I={T(t):t≥0}满足定义1中条件ⅰ)～ⅲ),则I被称为

f) 广义全渐近严格伪压缩半群,如果存在有界函数λ:[0,+∞)→[0,+∞),对∀x,y∈C,存在jp(x-y)∈Jp(x-y),{μn(x)}⊂[0,∞)和{rn(x)}⊂[0,∞),μn(x)→0和rn(x)→0(n→∞),使得对∀t≥0,n≥1,〈Tn(t)x-Tn(t)y,jp(x-y)〉≤||x-y||p-λ(t)||(I-Tn(t))x-(I-Tn(t))y||p+μn(x)φ(||x-y||)+rn(x),其中φ:[0,+∞)→[0,+∞)是一个连续且严格增加的函数,φ(0)=0;

g) 广义渐近严格伪压缩半群,如果存在有界函数λ:[0,+∞)→[0,+∞)和序列{kn}⊂[0,+∞),kn→1(n→∞), 对∀x,y∈C,存在jp(x-y)∈Jp(x-y)和{rn(x)}⊂[0,∞),rn(x)→0(n→∞),使得对∀t≥0,n≥1,〈Tn(t)x-Tn(t)y,jp(x-y)〉≤kn||x-y||p-λ(t)||(I-Tn(t))x-(I-Tn(t))y||p+rn(x);

h) 广义渐近半压缩半群,如果存在有界函数λ:[0,+∞)→[0,+∞)和一个序列{kn}⊂[0,+∞),kn→1(n→∞),对x∈C,y∈F(T(t)),存在jp(x-y)∈Jp(x-y)和{τn}⊂[0,∞),τn→0(n→∞),使得对∀t≥0,n≥1,〈Tn(t)x-Tn(t)y,jp(x-y)〉≤kn||x-y||p-λ(t)||x-Tn(t)x||p+τn.

注1 在f)中,如果对p=2,μn(x)=μn,rn(x)=ξn,x∈C,则广义全渐近严格伪压缩半群便是全渐近严格伪压缩半群.

(4)

式中,{αn},{βn},{γn},{δn}是(0,1)中4个实数列, {un},{vn}是C中2个有界序列.

对I={T(t):t≥0},修正这个条件如下.

为了证明本文的主要结果,需要如下引理.

引理1[13]设E是实赋范线性空间,Jp:E→2E*是对偶映象,则∀x,y∈E,有

移项得:

因此,对任意正整数h≥n4,有

(6)

由式(6),得:

矛盾.因此,式(6)对k+1成立.由第二数学归纳法,∀n≥N,式(6)成立.故

2 主要结果

ⅰ)αn+γn≤1,βn+δn≤1,n≥1;

即

和对x,y∈C,n≥1,有

式中,L=L*+1.又,φ是不减函数,如果λ≤M,有φ(λ)≤φ(M),如果λ≥M,φ(λ)≤M*λp.于是这2种情况有φ(λ)≤φ(M)+M*λp.令

由式(4),式(7),式(8)和引理1有

由式(4)和式(8),有

和

把式(10)代入式(9),应用不等式pap-1b≤2p-1(ap+bp),式中,a,b∈[0,+∞),有

式中,

注意到

式中,

化简不等式(11),有

对x*∈F取下确界,有

在式(12)中用n代替n+1,有

把式(12)和式(13)相加,得:

由式(8),∀t≥0,有

这蕴含

由式(8),∀t≥0,又有

这蕴含

(16)

把式(16)代入式(15)有

这和条件(A′)一起给出

把式(17)代入式(14)有

式中,

取下确界x*∈F,有

其中

显然,0

下面用第二归纳法证明∀n≥m,有

(19)

下面往证,对n=k+1,式(19)也成立.假设式(19)不成立,则

从而d(xk+1,F)≥Q.由f的单调递增性有f(d(xk+1,F))≥f(Q).由式(18),有

这是一个矛盾.因此式(19)对n=k+1成立.由第二归纳法,n≥m,式(19)成立.由式(19),有

这表明∀n≥m,有[d(xn,F)]p≤2Q.因此,由式(18),∀n≥m有

注2 定理2从以下方面改进与推广了定理1:

ⅰ) 将全渐近严格伪压缩半群扩展到更一般的广义全渐近严格伪压缩半群;

ⅱ) 将Banach空间推广到实赋范线性空间;

ⅴ) 将迭代序列式(3)推广为更一般的带误差的迭代序列式(4);

ⅷ) 定理2的主要证明与已往完全不同.

在定理2中∀x∈C, 取μn(x)=μn,rn(x)=ξn,p=2,则有定理3.

在定理4中∀x∈C,取rn(x)=0,p=2,则有定理5.

3 结 论

全渐近严格伪压缩半群是一类比较广泛的非线性映象,它以严格伪压缩半群和渐近严格伪压缩半群为特例.而广义全渐近严格伪压缩半群是全渐近严格伪压缩半群的推广,因此研究其迭代逼近问题是非常有意义的.本文使用新的分析技巧,在实赋范线性空间中建立了广义全渐近严格伪压缩半群公共不动点具误差迭代序列的强收敛定理.所得结果与以往相比不需要任何有界性条件,而且较强的半紧条件被条件(A′)所取代,主要结果证明与已往也完全不同.这样获得的结果扩大了相关定理的适用范围.