一次函数的应用教学课例

肖泽永

一、教学设计

这是2018年11月4-10日习水县“乡村名师工作室”引领“种子”教师跟岗研修学习到贵阳市第十九中学七年级10班所上的一节常态课，课时内容来源于北师大版八年级上册第四章第四节：一次函数的应用第一课时。

（一）学生起点分析

本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法。

（二）教學任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象信息，确定一次函数的表达式。与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法;并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念?????---基本量。值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定 另一个参数的问题。因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练。

（三）教学目标：

1.了解两个条件可确定一 次函数;能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式;并能利用所学知 识解决简单的实际问题.

2.经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法;

（四）教学重难点：

重点：通过函数图象获取信息

难点：用待定系数法解较为简单的一次函数的应用题.

（五）核心问题：

如何用待定系数法解较为简单的一次函数的应用题.

（六）设计思路：

本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前复习;第二环节：情境引入; 第三环节：深入探究;第四环节：反馈练习;第五环节：体验收获;第六环节：作业布置。

二、教学过程

第一环节课前复习

提问：（1）什么是一次函数？

（2）一次函数的图象是什么？

（设计意图：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新。）

第二环节情境引入

展示实际情境：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（米/秒）与其下滑时间t（秒 ）的关系如图所示.

（1）写出v与t之间的关系式;

（2）下滑3秒时物体的速度是多少？

生1：2s时，速度是5m/s，所以每秒的速度是2.5m，因此v与t的关系式是：v=2.5t;

生2：由图像设v=kt，把v=5，t=2代入得，k=2.5，所以，v=2.5t。

课前反思：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法.

想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？

生：一个。

（设计意图：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量.由于一次函数有两个基本量k、b，所以需要两个条件来确定.）

第三环节深入探究

例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（千克）的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.

生3： 挂物体的质量为3kg时，弹簧伸长1.5cm，每千克伸长0.5cm，所以y=0.5x+14.5;

生4：因为y与x是一次函数，所以设y=kx+b，把（0，14.5）（3，16）代入解析式，解得，k=0.5，b=14.5，所以，y=0.5x+14.5

（设计意图：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，设计意图在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型.这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解.）

课前反思：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到 与 间的关系式.对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同.

归纳：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤.

求函数表达式的步骤有：1.设一次函数表达式.

2.根据已知条件列出有关方程.

3.解方程.

4.把求出的k，b值代回到表达式中即可.

（设计意图：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法.）

第四环节反馈练习

1.如图，直线 是一次函数y=kx+b的图象，求它的表达式.

2.如图：（1）当y=0时，x=________;

直线对应的函数表达式是______________.

3.已知直线 与直线y=2x平行，且与y轴交于点（0，2），求直线 的表达式.

（设计意图：三个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程.）

第五环节体验收获

本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出 ， 的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式;（2）根据已知条件列出有关k，b的方程;（3）解方程，求k，b;（4）把k，b代回表达式中，写 出表达式.

设计意图：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化.

第六环节作业布置

习题2，4

（设计意图：进一步巩固当天所学知识。）

点评：

本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些簡单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题.本节课设计注重 发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识，为后继学习打下基础.

探究的过程由浅入深，并利用实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛.

教学中注意到让学生掌握求一次函数表达式的一般方法.但调动学生积极性还有待加强。学生从函数的观点来考虑这个问题和用推理的方式解决这个问题，比较这两种方法强调不够。

点评人：罗湘榕

三、教学体验

（一）教的转变

本节课从实际生活的问题情境（物体下滑）入手，让学生在观察图像中探索出一次函数的解析式。又通过现实背景的例题，进一步理解用待定系数法求一次函数解析式，并让学生体会到一次函数的实际应用。因此，本节课的重点是经历一般探索过程，发展学生的抽象思维能力，理解用待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据已知条件求出简单的一次函数表达式，发展学生的数学应用能力;加强数学与现实的联系，促进学生新的认识结构的建立和数学应用的发展。在课堂教学中教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。通过这种创设问题情境的教学，能始终让学生处于一种积极思考问题的状态中，从而激发学生自觉地探究数学问题，体验发现的乐趣。

（二）学的转变

本节内容是让学生经历一般探索过程，从实际问题中抽象出用待定系数法求一次函数解析式，所以在教学方法上应以学生自学为主，教师予以引导为辅，在学生遇到困难如根据已知条件求出简单一次函数表达式和一次函数的实际应用时，学生在此方面会出现一定的差异，此时，要给予学生足够的思考时间，必要的时候可组织学生交流讨论，而不能简单地“告诉”;同时让更多的学生上黑板去展示自己，并进一步让学生从中感受从具体情境中挖掘信息应用适当的方式求一次函数关系式，从而加深对建模思想的理解。为兼顾优等生，更好地评价学生，特设计了能力拓展题，让教学尽可能使学生各有收获。

参考文献：

[1]严虹，游泰杰，吕传汉.对数学教学中“教思考、教体验、教表达”的认识与思考[J]，数学教育学报，2017（05）.

[2]张秋霞.课时核心问题的确定[J].教育研究与评论，2015（10）.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2011.

[4]杨孝斌，吕传汉.论数学教育对中小学学生核心素养的培育[J].兴义师范学院报，2015（5）.