服役过程中裂纹齿轮时变啮合刚度计算方法研究进展*

徐 慧，吴小刚，刘德权，赵 哲，王奕霖

(湖南工学院 工程训练中心，湖南 衡阳 421002)

0 引言

齿轮传动系统作为传递运动和动力的装置，因其恒功率传递、高效率传动、大能力承载、长时间可靠工作等优点，在各种机器和机械装备中得到了广泛应用。但由于齿轮系统本身结构复杂，绝大部分在密闭环境下工作，导致其故障发生率比较高。裂纹是齿轮传动系统最典型的故障形式之一，国内外学者对齿轮裂纹的研究很多，但都缺乏系统开展。本文围绕齿轮系统中的裂纹故障问题，主要讨论裂纹扩展路径及裂纹故障中时变啮合刚度的求解方法，并对其进一步研究方向进行展望，旨在为齿轮系统故障诊断提供帮助。

1 裂纹扩展路径

齿轮裂纹主要分为齿根裂纹和分度圆裂纹。2009年，Chaari等[1]首次提出裂纹沿整个齿宽方向均匀扩展，即所谓的“贯穿型裂纹”。2011年，Chen等[2]考虑裂纹扩展的实际情况，提出裂纹沿齿宽方向不均匀扩展，即所谓的“抛物线型”或“准抛物线型”。在Chen的“抛物线型”裂纹模型基础上，Mohammed等[3]认为齿根裂纹扩展路径同时沿裂纹深度和齿宽方向进行，显然该模型与轮齿实际情况更接近。2015年，Ma等[4]根据不同的齿根裂纹扩展路径，提出了沿不同方向扩展的两种裂纹，一种是沿轮齿方向扩展的裂纹，另一种是沿轮缘方向扩展的裂纹。此外，Lewicki等[5]还提出齿根裂纹扩展按轮缘厚度系数(轮缘厚度与轮齿高之比值)进行，轮缘厚度系数值决定裂纹扩展方向，其值较大时扩展沿轮齿方向，反之则沿轮缘方向。

综上，齿根裂纹扩展路径有3种类型：①沿齿宽(轮齿)方向扩展；②沿轮缘方向扩展；③同时沿齿宽(轮齿)方向和轮缘方向扩展。目前研究主要是针对圆柱直齿轮和斜齿轮上的裂纹，而对于其他类型齿轮上的裂纹扩展路径研究很少，还有待于进一步深入探索。

2 裂纹齿轮时变啮合刚度计算方法

齿轮出现裂纹，直接影响其时变啮合刚度，进而影响系统的振动响应特征及动力学特性。因此对裂纹齿轮时变啮合刚度的精确求解一直以来都是齿轮故障系统动力学研究的基础,下面分别对这些方法进行综述。

2.1 解析法

在早期的研究中，常用解析法来研究齿轮副的时变啮合刚度。Wu[6]利用解析法，将裂纹扩展路径简化为直线，利用4种不同裂纹程度的故障齿轮模型来探讨裂纹扩展与系统振动响应间的关系。将裂纹扩展路径简化为直线，计算裂纹齿轮时变啮合刚度。Pandya等[7]提出将裂纹扩展路径近似为曲线路径，并与简化为直线情况进行比较，结果发现，简化为曲线路径近似法计算的时变啮合刚度精度更高。Ma等[8]将裂纹扩展路径简化为一条轻微弯曲的直线，求解得到的时变啮合刚度值较简化为直线时的精度值更高。万志国等[9]基于解析法提出了时变啮合刚度的修正计算方法，明显提高了计算精度。针对不同的齿根圆和基圆关系，推导了不同的时变啮合刚度求解方法。通过齿数42来判断齿根圆与基圆的关系，当齿数小于42时，求得的时变啮合刚度变大；反之，求得的轮齿时变啮合刚度变小，故都需对解析法进行修正。文献[8]中Ma等提出了一种裂纹直齿轮时变啮合刚度改进计算方法，分别用两条抛物线来模拟裂纹扩展路径和极限线。

以上利用解析法求解裂纹齿轮时变啮合刚度，一般都将裂纹简化成直线或抛物线，规则化了，与实际裂纹有差别，故裂纹的精确描述尚需进一步探索。

2.2 有限元法

孙华刚等[10]采用ANSYS有限元法求得不同裂纹位置下的轮齿啮合综合刚度，结果表明齿根裂纹较分度圆裂纹对时变啮合刚度影响显著。冯刚等[11]利用有限元法，对不同大小、位置的裂纹影响齿轮扭转啮合刚度进行分析，研究显示，扭转啮合刚度的变化与裂纹程度呈直接线性关系，而且，弧齿小端的裂纹较中部裂纹对扭转啮合刚度的影响更大，最后是大端裂纹。唐进元等[12]构建了含齿根裂纹的直齿圆柱齿轮有限元模型，提出了含齿根裂纹的轮齿时变啮合刚度的精确数值计算法，以有限元准静态分析为基础，通过对轮齿时变啮合刚度变化受齿根裂纹参数(裂纹长度、裂纹方向)影响的研究，得出轮齿时变啮合刚度因裂纹出现而下降，裂纹长度引起的下降值大于裂纹方向引起的下降值。冯刚等[13]对含裂纹和无裂纹弧齿锥齿轮三维模型进行仿真，得出时变啮合刚度的变化规律：裂纹不仅对弧齿锥齿轮系统振动大小有影响，而且对系统振动形式也有影响，故可根据系统振动特性变化进行弧齿锥齿轮故障诊断。

以上均为采用标准有限元法处理裂纹问题的情形，因需用网格重构来处理裂纹，故导致计算精度和效率都不高。而扩展有限元法(XFEM)实际上是单元形函数的扩展，可以处理裂纹间断。余洋等[14]基于断裂力学和XFEM，探讨了齿根裂纹扩展变化受离心力、初始裂纹和轮缘厚度系数影响的情况，发现离心力的影响很大，离心力越大齿轮轮缘断裂的可能性也越大；裂纹扩展情况受初始裂纹位置影响最大，受裂纹初始长度影响很小，可以不考虑；轮缘厚度系数对齿根裂纹影响很大，轮缘厚度系数越小，裂纹扩展趋势逐渐偏向轮缘断裂趋势。许德涛等[15]利用XFEM对直齿轮齿根裂纹扩展进行研究，结果表明：对于文中情况，齿根初始裂纹扩展趋势总体从轮齿周向至轮齿断裂。

因XFEM利用扩充形函数处理裂纹问题，不需进行网格重划分，节省了计算时间，故较标准有限元计算效率高，对裂纹扩展计算及仿真更加有利。

2.3 解析-有限元法

吴家腾等[16]提出了一种新的解析-有限元法求解齿根裂纹时变啮合刚度，通过将求得的裂纹尖端应力强度因子代替解析模型中的故障刚度部分，建立了系统动力学模型，进行振动响应分析，并通过仿真验证了该方法的可行性。

解析-有限元法计算精度远远高于解析法，计算效率大大高于有限元法，而且还可以解决多齿啮合区的齿轮基础共享问题，故具有最大的应用价值。

2.4 实验法

Pandya等[17]提出一种基于常规光弹性技术计算正齿轮应力强度因子的实验方法。对初始裂纹形式进行量化，然后测量其齿轮副的时变啮合刚度。在此基础上，Paghuwanshi等[18]又提出采用应变计技术测量裂纹直齿轮副的时变啮合刚度方法,该方法的主要优点是利用齿轮本体变形量测量齿轮齿形的总挠度，其结果与有限元结果很接近。

可以看出，解析法有较高的计算效率，而有限元法具有计算精度高的特点，解析-有限元法兼具解析法和有限元法的优点，即同时具有高精度和高效率，实验法则在一定条件下更接近于实际操作。

3 结束语

齿轮裂纹影响齿轮系统的振动噪声及使用寿命，研究齿轮裂纹是进行齿轮故障诊断的基础，也是进行齿轮系统剩余寿命预测的重要手段。国内外学者对齿轮系统裂纹故障的研究虽然取得了显著成绩，但仍有几个方面有待于进一步深入研究，如：

(1)建立齿轮裂纹与时变啮合刚度间的映射关系。

(2)各类裂纹对刚度影响的差别。