斜率概念教学的反思与重构

郭红清　李其龙

[摘要]斜率的概念是高中解析几何的教学起点.对斜率概念教学的重难点把握、反思具有十分重要的意义.针对斜率概念教学中的疑点和难点，梳理典型案例进行反思，并根据反思进行教学重构，以使斜率概念的教学定位更明确、更科学.

[关键词]斜率;概念教学;反思;重构

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058（2020）02-0003-03

讲清概念是概念教学课的基本任务.形式上的完成并不等同于教学目标的实现.对概念教学的反思、重构是必要的，是提高概念教学水平的必要途径.反思、重构应成为数学概念教学活动的自觉行为.斜率概念是解析几何的教学起点，是“数刻画形”“数描述形”的第一个案例，也是解析法生成的源头.在教学过程中教师认真组织好这一概念的教学，有助于解析方法在学生脑海里“生根发芽

一、概念定位和思想分析

数学概念教学应体现概念建构的必要性、合理性和严谨性.不但要关注概念的逻辑结构，更应关注研究问题的一般方法，关注概念生成过程中学生的思维方式.斜率概念的教学仍然存在切入点的争议，也带来了建构过程的不同，教学素材的应用也不尽相同.本文试图就斜率概念教学中的疑点和难点，梳理典型案例进行反思，并根据反思进行教学重构，力争该概念的教学定位更明确、更科学、更具有实践价值.

苏教版教材斜率的产生过程体现了几何对象的“数量化”过程，斜率是核心知识，倾斜角属于从属地位.而且斜率也和平均变化率、导数概念、曲线的切割线相关，相较倾斜角更为重要.如果一节课的内容看作“连续的时间”前后呼应，那么斜率应是教学承前启后的关键节点.

二、概念教学过程

1.创设情境，引入概念

[案例1]同学们小时候都玩过跷跷板，如果把跷跷板抽象为一条直线，那么跷跷板在运动过程中就形成了一系列的直线，这些直线方向各不相同，但都经过同一个点，经过一个点有无数条直线.如果经过一个点，直线的方向又是确定的，那么直线是否确定呢？

生：经过一个点，直线的方向又是确定的，那么直线确定.但我们怎样刻画直线的方向呢？

师：问得好，这就是我们这一堂课要解决的问题，即如何刻画直线的倾斜程度.

[反思]数学课堂的情境可以是生活中的例子.生活中给予直线的直观认识的事物过于平常，想出更为奇特的例子并无必要，但作为普遍存在的数学抽象概念却有深入研究的必要，应强调直线研究的必要性.

直线在很多学生的印象中已经和一次函数等同起来，而我们要学习的直线与一次函数既有区别又有联系，所以教学中既要联系学生的已有认知，又要打破学生“直线即一次函数”的认知.因此，本节课以初中的一次函数引入更好.

关于“一点加方向能否确定直线”的问题学生除了回答“能”或“不能”外，并不能给出更多的解释.因此，课堂设计的问题应该有利于教学处理.本课的教学目标应凸出“直线方向的数量化”，提出的问题必须紧扣主题.

[重构]设计有逻辑关系的问题来展开教学，激活学生头脑中原有的知识，建立新概念和原有知识的联系.

（1）通过一次函数来提出直线的数量化，得到进一步认识直线的必要性.

（2）以生活中的楼梯带出“坡度”的数学表示，并进一步推广到直线的倾斜程度.

[课堂实录]

师：解析几何的基本思想是引进“坐标”，并刻画几何对象.点是最基本的几何对象，点P和有序实数对（x，y）形成了对应关系.根据约定的法则，一个点唯一的对应数对（x，y），而依据x和y给定的两个数，找到的点也是唯一的.那么作为组成平面图形的基本对象直线应该怎样“数量化”？我们是否已经用代数形式表示了直线？

生：初中的一次函数就表示直线，形如y=ax+b.

师：形如y=ax+b的数学形式是否表示了所有直线？是不是所有直线都能表示成y=ax+b？数字a，b的不同，表示的直线又有什么不同？两点确定了一条直线，过一点的直线则有无数条，这无数条又存在什么不同？又该用怎样的数进行刻画？

师：如图1，坐标系中给定一点P（x1，y1），给出另一点Q（x2，y2），那么得到的斜线段会随着Q的不同而倾斜程度不同.怎么计算斜坡的倾斜程度？你是否曾经衡量过坡的陡峭程度？

设计意图：两点构造了斜坡，坡度来自于生活化的斜坡，贴近学生熟悉的知识储备，有助于从初中知识迁移至新的情境.类比坡度的计算引出数学表示，同时坐标化会存在表示长度不加绝对值的问题，有助于学生良好思维品质的培养.

2.总结提炼，建构概念

[案例2]在以上的分析中引导学生得出：

已知直线l上有两点P（x1，y1），Q（x2，y2），

（1）若x1≠x2，直线l的斜率为

（2）若x1=x2，直线l的斜率不存在.

提醒学生注意：（1）斜率与给定直线上所取两点的位置和顺序无关;（2）给定直线若存在斜率，则斜率是一个定值;（3）所取两点，当x1=x2时，斜率不存在，直线垂直于x轴;（4）所取两点，当y1=y2时，直线的斜率为0，直线垂直于y轴.

[反思]本课的难点在于斜率公式的建构，轻描淡写使得学生不能养成从概念出发的思维品质，我们从一个初步的公式推进，通过不断追问引发矛盾冲突，并不断完善概念.一个概念的形成是螺旋式上升的，概念反映的是一个过程而不只是结果.

上述案例四个结论并非是概念建構的自然结果，是提醒而不是生成.提出概念的文字叙述，只是概念的表象，概念还需要进一步琢磨、反馈加以完善.斜率的概念及基本公式不能简单地作为事实来接受，应该对概念做批判性检查，对照以上四点注意深入挖掘.

（1）直线上不仅仅只有两点，为什么任取两点计算的结果不变？可以让学生探究.

（2）这一点其实和（1）表达的是同一意思，真正有待解决的是斜率给定，是否唯一对应了直线方向？

（3）斜率的计算是有条件的，斜率的有和无实质是概念定义的分类讨论.

（4）斜率为0的情况在概念中并无独立提出的必然性.可以纳入到应用环节，根据数值的符号及大小认识直线的方向，属于反向理解并应用概念.

[重构]通过引入部分得到的初步结果，深入探索，分析不足并加以完善，直到提出斜率概念文字表述，对概念反复推敲.认识直线方向和斜率的一一对应，体会几何对象的数量化，认识数和形的统一.从一一对应关系深化概念理解，作为数学建构的严谨化，这是必要的，这样的教学示范也潜移默化地影响着学生的概念观.

[课堂实录]

师：作为坐标表示运算，用做结果需要注意什么？

生：除法运算应该考虑到分母不能为0，也就是x1≠x2.

师：倾斜程度与直线方向是否有区别，值确定，是否表示了唯一的方向？

生：递增和递减的直线相同，不能加以区别，应去掉绝对值得.

设计意图：从近似的形式逐步演化得到，找到注意点x1≠x2，为建构斜率的概念铺平道路.解释了坡度和斜率的联系与区别，可以说，直线斜率就是推广了的坡度，将已有坡度概念迁移到坐标背景下，迁移到更高数学抽象直线中，展示了数学概念的严谨化过程.

师：直线上有无数个点，任意取两点计算得到的是同一结果吗？同一个方向是同一个斜率吗？

生：直线确定，取不同两组点相当于构造两个相似的直角三角形，算出的比值相等.

设计意图：进一步理解概念，而且回答了以上问题，确定了直线，斜率无论采用哪些点计算都为同一数值.直线方向确定，其斜率必唯一.学生可以从图形直观地给出解答.

师：应用斜率公式有怎样的要求，相应图形特征是什么？包含着怎样的数学思想方法？

生：x1≠x2是应用公式必然要求，也就是竖直直线不存在斜率，非竖直直线存在斜率，包含了分类讨论的数学思想方法.

设计意图：针对结论中的注意点，是“听到背住”还是“亲口总结”，效果天壤之别，充分发挥学生的主体作用，提高学生对概念的认识，使学生能自发自觉地从分类讨论的层面认识斜率概念和使用斜率公式.

3.探索深化，应用概念

[案例3]

[例1]直线l₁，l₂，l₃都经过点P（3，2），又l₁，l₂，l₃分别经过点Q₁（-2，-1），Q₂（4，-2），Q₃（-3，2），试计算直线l₁，l₂，l₃的斜率.

师：大家画出直线，看看直线的斜率和直线的方向有怎样的对应关系？

生：斜率等于0，直线和x轴平行;斜率大于0，直线自左下方向右上方倾斜;斜率小于0，直线自左上方向右下方倾斜.

[例2]经过点P（3，2）画直线，使直线的斜率分别为.

生1：可利用斜率就是增量的比值，就是把P（3，2）变化到点Q的纵坐标的增量为3，横坐标的增量为4后点Q（7，5）仍在直线上，所以，即可画出过这两点的直线.

生2：同样，把P（3，2）变化到点Q的纵坐标的增量为-4，横坐标的增量为5或者纵坐标的增量为4，横坐标的增量为-5后，点Q都在直线上.

[反思]概念教学中，例题教学起着理解概念的内涵与外延的作用，还起着把知识转化为能力的作用.教材选择的两个例题是为了配合本课概念的教学.例1的设计是为了依据斜率符号做简单分类，例2的设计是用一点加方向确定直线.同时从概念出发理解斜率的几何意义.就题论题是不够的，斜率的数值大小（不仅仅是符号）是怎样刻画了直线的倾斜程度.比如斜率为和的直线又是怎样的方向？

[重构]通过对教材例题的处理，在斜率概念的应用环节，我们的设计应达到以下目的：

（1）通过例1计算的结果，熟悉斜率公式.联系数值相应的直线方向，配合斜率概念，进一步根据斜率符号将直线分类.

（2）鉴于“数刻画形”，通过对斜率数值的分析，结合概念作出直线，作出的图形带来倾斜程度的直观感受.变化斜率的值，分析出数值的大小与倾斜程度的联系.

[课堂实录]

对例1，师：通过本题的计算，三个不同的数值代表的直线有什么典型的几何特征？

生：斜率符号有正负，数值0，再考虑斜率不存在的情况将直线分为四类：斜率不存在的竖直直线、斜率为0的水平直线、斜率为正的上升直线和斜率为负的下降直线.

对例2，师：已知一点和直线斜率，是否能确定直线并画出它？

生：再得到直线上另一点，根据公式，满足条件的（x，y）很多，不妨取（7，5），通过两点画出直线即为所求.

师：，可以理解为横坐标增加了4个单位，纵坐标增加了3个单位;也可以理解为横坐标减少了4个单位，纵坐标减少了3个单位.如此，直线的方向比较直观.再分别考察斜率为和，你能得出什么结论？

生：直线斜率k的符号决定了直线上升还是下降，同时|k|到越大，直线越陡.

设计意图：斜率作为推广了的坡度，斜率为正相当于上升的坡，斜率为负相当于下降的坡.通过斜率的数值就能感受直线的方向，同时体会到斜率值与坡的陡峭程度的联系.这道题的解决回答了一点和直线方向能确定直线，也从数的角度把握了直观的方向.当然看到直观的图形也能估计斜率数值的大小.

三、类比延伸，反思教学

本节课的斜率概念有助于渗透数形结合、归纳类比的数学思想.鉴于该概念的核心地位，反思优化、重构斜率概念的教学有着重要价值.教师只有从实践中反思，重构教学过程，才能找到恰當的教学方法.

[参考文献]

[1]程仕然，蒋智东.苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修）数学》中核心概念认知情况的调查报告[J].数学教学通讯，2019（5）：8-10.

[2]吴晓红.数学课堂教学反思[M].上海：华东师范大学出版社，2014.