“异面直线所成角”课堂教学的反思与重构

朱建平　袁卫刚

[摘要]“异面直线所成角”是苏教版教材中几何模块的一个核心概念，具有较好的教学价值与教育功能异面直线所成角的概念教学可从引入、建构、抽象概括、提炼表述和应用理解等环节去完整地体现数学概念的教学过程.

[关键词]异面直线所成角;课堂教学;反思;重构

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058（2020）02-0006-02

一、教材内容分析

“异面直线所成角”“直线与平面所成角”“二面角”是立体几何中的重要内容，这些角的计算主要是利用空间矢量来完成.本节课要研究的“异面直线所成角”的概念，主要是为引出“两条异面直线垂直”的概念，为下面研究直线与平面垂直打下基础.苏教版教材“空间两条直线的位置关系”开头给出了异面直线的定义，后面在“异面直线”部分安排了两条异面直线的判定方法、异面直线所成角定义以及空间两直线垂直的定义，只安排了一个例题.可见，教材中明显淡化了异面直线所成角定义以及异面直线所成角的计算.

“异面直线所成角”的概念可以从引入、建构、抽象概括、提炼表述、应用理解等环节完整地体现数学概念的教学过程.教学中，学生有自我发现、自主探究、感悟知识和方法的获得过程.因此，“异面直线所成角”是苏教版教材中几何模块的一个核心概念，具有较好的教学价值与教育功能.

二、概念形成过程的反思与重构

（一）创设情境，引入概念

“异面直线所成角”如何有效引入？在教学过程中，如何让学生体会研究“异面直线所成角”的必要性，明确概念发展的意义？有些教师在情境创设、课堂引入环节的做法值得进一步分析和探讨.

1.教学现状及反思

情形一，让学生观察正方体的棱及对角线，找出不同的异面直线，观察每组异面直线的相对位置关系，以期引出研究异面直线的距离和所成角的必要性.这样做的好处是能够借助正方体的表面或对角面，比较清晰地认清两条直线异面的属性.但是，由于两条异面直线都是“镶嵌”在正方体中，在对这两条异面直线位置关系的观察上需要较强的空间想象力，对不同的两对异面直线之间位置关系的比较会给学生造成一定的困难，影响后续概念的建构.

情形二，利用教室内桌子和黑板的边缘、日光灯、墙面交线等形成的两条异面直线的位置关系来引入.一方面，学生需要从实物中抽象出直线，增加想象的过程;另一方面，仍然是不同形态的两条异面直线的位置关系差异性不容易获得，学生对异面直线的“距离”“所成角”感悟不够，弱化了建立概念的必要性.

2.有效重构

有效的情境创设要包含数学问题，并且要有利于学生提出数学问题.本节课情境创设的主要形式是呈现多组异面直线的位置关系，让学生观察到每组异面直线位置的不同，并且能够找到刻画这些不同的数学量.

经过多年教学实践，我们认为教师用两根小木棍来展示两条异面直线的不同位置关系效果非常好.通过固定其中一根木棍，平移或是旋转另一根木棍，教师可以比较集中地向学生展示两条异面直线不同的位置关系.教学过程中，教师激发学生联想到平面内两条平行线间的距离以及两条相交直线夹角的概念，学生可以真切地感受到两条异面直线似乎既有角又有距离.这样，为了区别不同的异面直线，引入异面直线所成角和距离就是很自然、合理的了.上述做法简明自然，还原了知识的“生长”过程，隐含了类比思想，能有效地激发学生的学习兴趣.

（二）经历过程，建构概念

在情境创设阶段，教师为学生提供了两根木棍这样具体的、直观的、能够体现两条异面直线本质属性的典型例子.这样的设计，不仅有利于学生对数学问题的发现，更有利于学生在原有知识的基础上，通过联想、类比找到“异面直线所成角”;通过交流、探讨找到“异面直线所成的角”平面角的模型，抽象概括出定义.这样做，不仅还原了数学概念“生长”的自然性，还使得学生在活动过程中始终处于积极思考的状态，相应的思维能力和数学素养得到培养和提高.但是，教师对知识的理解以及对教学目标的定位往往制约着上述教学的实际效果.

1.教学现状及反思

在教学中，受具体实例（一根木棍动，另一根木棍不动）的影响，学生在建构“异面直线所成的角”平面角模型时，基本都是将异面直线a，b中的a平移到与b相交时的直线a'与b的夹角叫作为异面直线a，b的夹角，找到“异面直线所成的角”平面角的雏形.此后，有些教师就会让学生自己阅读教材上的定义，并进行比较.这样，就存在四个本该在探究过程中解决而没有解决的问题.

（1）建构中的平移直线→定义中的作平行线.

（2）建构中的a'与b相交，相当于过直线b上一点作直线a的平行线→定义中是过空间任一点O分别做直线a，b的平行线a'，b'.

（3）建构中的“夹角”→定义中的“所成的角”.

（4）异面直线所成角的范围.

显然，这样的教学过程，既缺少了在学生找到的不同平面角模型中归纳、概括概念共同属性的关键性环节，又在概念形成过程中缺少了抽象表述概念的过程.

2.有效重构

数学概念建构过程中，既要发挥学生的主体作用，也少不了教师的主导作用.教师对教学内容的准确理解通过适当的方式加以点拨，是学生学习不可或缺的环节.

在概念建构过程中，“平移”自然，在精准定义的过程中，作“平行线”比“平移”规范，具有可操作性;两条直线相交才有夹角，而两条异面直线不相交.因此用“所成角”;两条直线相交形成两对对顶角，其中的锐角（直角）与直线的位置关系一一对应.因此，就有了异面直线所成的角的范围是（0，π/2）.這与相交直线的夹角定义保持一致.定义中异面直线所成的角的大小与空间一点O的选取无关.教师可在概念探究过程中，有意识地加以引导，通过选取O点的不同位置引导学生利用等角定理来理解、证明这些角的大小是相等的.从定义的角度向学生指出其合理性，并且告诉学生在后面的应用过程中，可以体会其带来的运算的灵活性.

总之，通过对定义中关键信息的精准表述，可以完善概念的内涵，并且让学生经历归纳、概括的“数学抽象”过程，也正是发展数学核心素养的需要.

（三）应用体验，理解概念

要深刻理解概念，仅从对定义文字的阅读理解是远远不够的，还要选择合适的例题，将概念的理解置于数学问题的解决过程中，让学生再次经历从具体到抽象的思辨过程.在实际教学过程中，有的教师还存在着对教材内容定位不准以及对例题在概念教学中的作用理解不到位的现象.

1.教学现状及反思

情形一，有些教师在教学教材例题1时，将第（1）问“求异面直线AA₁与BC所成的角”变为“直线AA₁与直线BC是异面直线吗？如果是，它们所成的角是多少？”意图将新知识融入原有的知识系统中，引导学生对“直线AA₁与直线BC是异面直线吗？”进行判断与证明.事实上，从本课的教学目标定位来看，引导学生利用辅助面简明地判定直线AA₁与BC是异面直线是合理的，而是否需要证明值得商榷.该问的目的是利用定义求出异面直线AA₁与BC所成的角是90°，从而引出两直线异面垂直的概念.

情形二，有些教师在教学教材例题1第（2）问“求异面直线BC₁与AC所成的角”时，意图给学生介绍求异面直线所成的角的一般步骤.实际教学中，大部分学生都能说出过点A作BC₁的平行线AD₁（或是平移BC₁至AD₁的位置），∠D₁AC就是异面直线BC₁与AC所成的角，或是说出∠A₁C₁B也是异面直线BC₁与AC所成的角.然后，有些教师就在此基础上引导学生一起总结概括求异面直线所成的角的一般步骤，例题教学结束.事实上，学生还有别的想法，如取棱AB、BC、C₁D₁的中点，分别记为E，F，G，则∠GEF也是异面直线BC₁与AC所成的角.师未能关注到学生的这类想法并做出引导和解答，失去了例题所要解决的最本质问题的机会.另外，教师总结方法后，也未能及时加以巩固，例题的作用没有完全发挥出来.

2.有效重构

苏教版教材中，在给出异面直线所成的角的定义后，只安排了一个例题1.例题1以正方体为载体设计了两个小问，在应用理解概念的同时，给出了异面直线垂直的概念以及求异面直线所成的角的计算流程.教师要在理解教材、了解学生的基础上创造性地使用教材，帮助学生拓展概念的外延.

第（1）问（见上）引出两条直线异面垂直的概念后，要让学生在正方体中再找出一些异面直线垂直的例子.同时，可以利用教室日光灯与黑板边缘、课桌的边缘线等让学生体验两直线异面垂直.一定要使学生理解垂直、相交垂直、异面垂直这三个既相互联系又相互区别的概念，为建立直线与平面垂直的概念打下坚实的基础.

第（2）问（见上）正如上面所述，在建构异面直线BC₁与AC所成角的平面角时，按照定义，可以“经过空间任意一点O”来分别作直线BC₁与AC的平行线，教师要关注学生的不同做法，对可行的方法要及时给予肯定和鼓励，同时要向学生指出，正是由于定义中“点O的任意性”到具体计算正方体中的棱或对角线构成的两条异面直线所成的角时，直线一般平移到顶点，这为计算提供了方便.在引领学生总结出计算两条异面直线所成的角的步骤后，应该及时练习，让学生进一步体会方法.如，可让学生在正方体中求直线DD₁和A1B所成的角.

每一个数学概念都是对客观事物本质属性的概括和反映，都有其产生和发展的自然性异面直线所成的角”的概念也要遵循这种自然性，充分利用学生原有的知识经验，体验数学抽象概括的过程，在揭示概念本质、渗透数学思想方法上做文章，精心设计每一个教学环节.无论是概念的引人、概念形成时经历的概括过程，还是概念的理解，都应按照教材要求A然展开.

[参考文献]

[1]苏教版高中数学教材编写组.普通高中数学课程标准实验教科书[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[2]蒋智东.函数概念教學的反思与重构[J].中学教学参考，2019（4）：4-6.

[3]程仕然，蒋智东.苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修）数学》中核心概念认知情况的调查报告[J].数学教学通讯，2019（5）：8-10.