线性代数中矩阵理论的应用研究

王永静

【摘要】线性代数作为一种领域性学科，其研究方向为线性空间及方程组等，具有空间性、实用性和工程性等优点，其预算优势可扩展到无限维度空间.其中矩阵理论作为线性代数中的重要组成部分之一，其在工科领域、技术领域、自然科学领域中被广泛应用.本文对线性代数进行介绍，并分析线性代数的矩阵理论在量纲分析法中的应用，在生物成长动态趋势预期分析中的应用.

【关键词】线性代数;矩阵理论;应用研究

当前科研水平的不断提升使数学科学领域迅速发展起来.矩阵理论作为线性代数的重要组成部分，其理论内容以线性空间、线性变换、特征向量、矩阵、内机空间为主，在对理论进行研究时，在研究领域的不断扩展下，使其理论性地位得到提升.当前在高端性科研领域中矩阵理论的运算效果具有明显优势，通过维度空间性算法，可使其在数学、物理学、密码学、计算机图形學等学科领域中被广泛应用.

一、线性代数定义

线性代数的主要研究对象是线性空间、线性变换、有限维的线性方程组等，在泛函分析、抽象代数等被广泛应用，在对其进行解析时以几何解析的方式可使其被完整地表现出来.线性代数中的线性在数学学科中可从一阶导数作为常数函数的层面进行认知，其主要是指函数量和函数量之间的直线比例关系.线性代数理论是数学家对二维直角坐标系和三维直角坐标系的研究，在科学技术的不断突破下，其研究范围已经扩展到无限维度空间.

当前线性代数具有空间性、实用性和工程性，空间性是指立体化运算，由量到点，从点到线，以线构面，可在维度空间中进行运算，例如，空间性投影、线性转换等，其转换方式已经脱离传统的符号转换范畴，以线性量之间的转换方式完成其维度空间的运算.实用性是指其应用领域较广，可对基本方程式进行预算，并可通过相应函数量计算物体在空间维度的量值大小，也可对系统力学、电力导向结构等进行维度分析，甚至可对经济均衡形式进行运算.工程化是指对问题进行求解时，可将实际场景和数据场景进行转换，将事物进行数据映射，将问题进行数据化，以运算的方式解决问题，目前此种方式对问题进行解决的理论有高斯消元、奇异值分解和克拉默法则，这些理论与线性代数的本体差异在于功能性表现.

二、线性代数的矩阵理论在量纲分析法中的应用

量纲分析法作为研究自然科学的分析方式，其在对事物进行分析时，以量为基准，通过寻求量存在的原因与形式，对事物进行数据分析，并找出与事物相关联数量之间的联系.科学家通过量纲分析可对物理学规律现象的方程式计算进行核对，并可对物理现象的预期发展规律进行探索.量纲分析中对物理学中的力学量具有特定的方程公式，质量的量纲式为M、长度的量纲式为L、时间的量纲式为T、速度的量纲式为LT-1、加速度的量纲式为LT-2、力学量纲式为MLT-2、角度量纲式为1（M0L0T0）等，其中基本量为时间、质量和长度，其他为导出量.其量与量之间在相等的情况下，一般遵循一致性原则，通过量性相等的原则可建立相应的线性方程式，并以矩阵理论对其中量的变化进行解决.

例如，在进行勾股定理证明时，可将直角三角形的斜边边长设置为q，直角边边长分别设置为o和p，设面积为Z，研究两个锐角ε、η与q之间的变量关系.

可得出f（Z，q，ε，η）=0，

其上述公式具有四个纲量，其中q，ε，η为基本纲量、Z为无纲量，可将量进行量纲矩阵列表，其中列数代表变量型量纲数据.

qεηZM1002N0000K0000

由矩阵可得出其解线性方程为：

100000000y11y21y31=200，

可得出y11=2，y21=0，y31=0，

可得出关系等式为Z=μq2，μ为确定值，属于无量纲量，依据等式可得出直角三角形的Z与q2成正比.在此基础上，可将直角三角形的斜边设置一个垂直高，将其分成两个相似直角三角形，将两个相似直角三角形的面积分别设置为Z1和Z2，此时直角三角形Z的两个直角边o和p，作为Z1和Z2的斜边，通过相似原理可得出Z1=μo2，Z2=μp2，通过Z=Z1+Z2，可得出μq2=μo2+μp2，

进而可推导出q2=o2+p2.

当前量纲分析作为一种运算法则，科学家在进行实验运算时，一般以事物价值为衡量标准，当实验价值较高，研究人员一般以运算为主，并对情况进行假设，对事物的发生进行预判，在模型建立下，以实际效果为导向，对假设模型进行最优化选取.

三、线性代数的矩阵理论在生物成长动态趋势预期分析中的应用

生物种群在发展过程中，如未受到环境的制约和外力性损坏，其动态发展将具备一定的规律.在对规律进行臆测时，可由矩阵方程、矩阵对角、矩阵乘法等知识，可对其进行数学计算，得出矩阵高次幂，以其结果对预期发展状况进行判断，使结果数据化，并可对种群的增长情况进行模拟.

当对种群进行研究时，可对其繁衍主体雌性动物进行分析，将雌性动物生长年限设为M，在[0，M]之间可设置相应的年龄组为m，由此可得出其中第a组年龄段为a-1mM，amM，

种群在繁衍过程中，存在生育率（平均生育量）和存活率（a阶段到a+1阶段的种群存活的数目与a阶段的种群总体数目相比），设a组年龄段的生育率为ra，存活概率为ha，将种群年龄分布设为：

Y（0）=（y（0）1y（0）2y（3）3…y（0）m）T，

取tv=vmM，v=1，2，3，…

由上述公式可得出Y（v）=（y（v）1y（v）2y（v）3…y（v）m）T.

经过时间的不断推移，动物种群的年龄段数目也在不断变化，以平衡原则为主，其年龄段也在改变，上一阶段的幼体成长为本阶段的具有繁殖能力的动物成体，即tv年龄组中的繁殖性动物等于tv-1到tv各年龄段中幼体数目之和，由此可得出公式

Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，

通過y（v）a+1=qay（v-1）a，a=1，2，3，…，m-1可得出

Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，

Y（v）2=q1y（v-1）1，

Y（v）3=q2y（v-1）2，

……

Y（v）m=qm-1yv-1m-1，

其矩阵乘积为Y（v）=AY（v-1），v=1，2，3，…，m-1，

矩阵系数是：

A=p1p2…pm-1pmq10…000q2…0000…qm-10 .

由此可知，Y（v）=A（v）y（0），v=1，2，3，…m-1，

由上述公式可知动物种群年龄分布的初始时刻，其在tv阶段种群量值的分布为Y（v）.

此时将M取值为30，并对其进行年龄分组，[0，10]，[11，20]，[21，30]，种群在[0，10]的生育率为0，[11，20]的生育率为4，[21，30]的生育率为3;种群存活率[0，10]阶段为0.5，[11，20]阶段为0.25，[21，30]阶段为0.在三个阶段的雌性数量为2000，2000，4000，求出10年后的种群数量，可得出

Y（0）=200020004000，

A=0430.50000.250，

可得出：

A2=20.750021.50.12500，

进而推导出

Y（2）=20.750021.50.12500200020004000=550010000500 .

经过上述公式可对10年后的种群数量进行预算，[0，10]，[11，20]，[21，30]年龄段的数量分别为5500，10000，500.当种群数量的年龄组m趋于无限大时，可对Am进行求解，以可对角化矩阵，在有限的空间维度，进行向量转换，使其具备可对角化的线性映射，在对m→∞进行极限讲解，进而可对种群的总个数进行趋势预判.因此，在对种群数量进行预测时，以科学的计算方法为引导，可对其发展趋势进行严谨性运算，有利于提升对生物领域的认知程度.

三、结 语

综上所述，本文对线性代数进行介绍，以空间性、实用性和工程性三方面阐述其结构优势.线性代数作为数学领域中的一门学科，其对线性关系可进行空间性算法，在科学技术的不断提升下，使其算法向无限维度层面拓展，有效扩大线性代数的应用范围.矩阵理论通过线性变换、特征向量、矩阵等运算方法，以数据为基准，可将问题进行简化，并对问题的发展通过数据的表现进行预期判断，有效提升运算的科学性和精准性.

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