圆锥曲线的切线问题研究

肖翔

【摘 要】 圆锥曲线的切线问题是高中阶段学生学习理解圆锥曲线的一个难点，以圆锥曲线的切线性质为背景的题目频频出现，引起广大教师和考生的广泛关注。如何正确作出切线，计算出切线方程已经成为高三学生应考的一个必备知识。

【关键词】 圆锥曲线;切线

过圆锥曲线上一点作切线，并求其切线方程，是学生在学习圆锥曲线知识的过程中一个头疼的问题。学生在代入过程中容易犯错，同时计算过程也容易出错。针对圆锥曲线的切线问题，需要總结出规律，以便学生在高考中能轻松应对，提高解决圆锥曲线的题型的能力。

一、椭圆的切线问题

过椭圆上一定点作椭圆的切线方程与过椭圆外的一点作椭圆的两条切线的切线弦。

1.过椭圆上的一点作椭圆的切线

例1：已知点P（x0，y0）是椭圆上的任意一点，求椭圆的切线方程。

解：当切线的斜率存在时，设过点P（x0，y0）的切线方程为y=kx+m，

代入椭圆方程得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，

∴，即k=-，

，，

，即。

当切线的斜率不存在时，过点P（x0，y0）的切线方程同样满足上式。

综上所述，椭圆的切线方程为。

2.过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点弦直线方程

例2：已知点P（x0，y0）是椭圆外一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求过两切点A，B的直线方程。

解：设两切点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则点A，B都在直线上，

∴此直线为切点弦AB所在的直线方程。

【典型例题】过椭圆3x2+4y2=12上的点P（1，）作椭圆的切线，求这条切线方程。

二、双曲线的切线问题

过双曲线上一定点作双曲线的切线方程与过双曲线外的一点作双曲线的两条切线的切线弦。

1.过双曲线上一定点作双曲线的切线

例3：已知点P（x0，y0）是双曲线上的一点，求过这点的切线方程。

解：当切线的斜率存在时，设过点P（x0，y0）的切线方程为y=kx+m，

代入双曲线方程并化简整理得a2k2-m2-b2=0，

，

∴，即k=-，则m=-，

，即。

当切线的斜率不存在时，过点P（x0，y0）的切线方程同样满足上式。

综上所述，切线方程为。

2.过双曲线外一点作双曲线的两条切线，切点弦直线方程

例4：已知点P（x0，y0）是双曲线外一点，过P作双曲线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求过两切点A，B的直线方程。

解：设两切点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

点A，B都在直线上，

∴此直线为切点弦AB所在的直线方程。

三、抛物线的切线问题

过抛物线上一定点作抛物线的切线方程与过抛物线外的一点作抛物线的两条切线的切线弦。

1.过抛物线上的一点作抛物线的切线

例5：已知点P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p>0） 上的任意一点，求抛物线的切线方程。

解：过抛物线y2=2px（p>0） 上的一点P（x0，y0）的切线方程为：y0y=p（x+x0）

同理可得，

过抛物线y2=-2px（p>0） 上的一点P（x0，y0）的切线方程为：y0y=-p

（x+x0），

过抛物线x2=2py（p>0） 上的一点P（x0，y0）的切线方程为：x0x=p（y+y0），

过抛物线x2=-2py（p>0） 上的一点P（x0，y0）的切线方程为：x0x=-p

（y+y0）。

2.过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点弦直线方程

例6：已知点P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p>0）外一点，过P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求过两切点A，B的直线方程。

解：设两切点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）

则点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y=p（x+x0）上，

∴此直线为切点弦AB所在的直线方程。

【参考文献】

[1]钟建新，一道圆锥曲线问题的探究[J].福建中学数学，2010（8）：7-8.

[2]周伟林，圆锥曲线切点线的一个性质[J].参考周刊，2007（3）：49-50.