基于ADMM的压缩感知图像重建

李婷婷

（北京信息科技大学信息与通信工程学院 北京市 100101）

1 引言

不论是图像传输还是本地存储，在有限带宽的信道上传输海量数据是非常困难的，通常采用压缩的方法达到减少数据量的目的，但在压缩过程中通常会丢失大部分冗余数据，只有少数关键数据留存,这种传统的先采样后压缩的方法会造成较大的经济成本。压缩感知（Compressed sensing, CS）的提出使得该问题得到了解决。压缩感知是指如果信号是稀疏的或者具有可压缩性，则可以用远低于奈奎斯特采样频率的速率采样该信号，最后通过优化算法高概率重建出原信号。压缩感知将采样与压缩同时进行的方法能够降低采样成本，具有十分重要的现实意义。

文章主要对压缩感知图像重建算法进行研究。压缩重建算法通常分为两类：贪婪算法和凸松弛算法。贪婪算法采用有向随机搜索策略在整个空间进行全局最优搜索，每一次迭代所做的选择就是当下最优的选择，能对非线性的复杂问题有较好的求解方法。常用算法有匹配追踪算法(MP)算法；正交匹配追踪算法(OMP)。凸松弛方法应采用l0范数求解最优化问题，但由于该问题是 NP-hard 问题，需要枚举出所有的子集才能求解。于是常常采用非光滑但具有凸函数性质的l1范数替代求解。这类方法包括基追踪算法(BP)，梯度投影稀疏重构算法 (GPSR)，迭代分裂阈值算法 (IST)等。

两类压缩重建算法都能有效的实现重建，但是还存在部分缺陷。比如：贪婪算法的计算复杂度较低 ，但重建性能不如l1范数最小化方法，重建精度较低；凸松弛法重建性能良好，但计算复杂度高，重建时间长。针对以上问题，文章提出在压缩感知的框架下，交替乘子方向算法和字典学习结合重建图像的模型。首先通过 K-SVD字典学习对图像进行稀疏表示；其次通过交替方向乘子法求解l1范数问题实现图像重建，最终通过图像仿真证明文章提出模型的有效性和实用性。

2 压缩感知基本理论

压缩感知的标准表达式为：

式（1）是一个欠定方程，有无穷多解，通过观测值y 重建出原始信号x 非常论难。压缩感知理论以信号的稀疏性为前提，信号x 是稀疏的，即可求解x 的稀疏系数进而恢复重建原始信号。通常选择与测量矩阵不相关的变换基 对原始信号进行稀疏表示，得到稀疏稀疏矩阵：

图1：模糊图像

求解l0范数优化问题是一个NP-hard 问题，在一定条件下l1范数优化问题与l0范数优化问题等价，因此将式（4）转化为求解l1范数优化问题：

3 ADMM算法

使用ADMM 算法求解基于压缩感知图像重建的数学模型为：

引入辅助变量Z：

其增广拉格朗日函数为：

求增广拉格朗日函数的最小值问题：

表1：重建算法信噪比及重建时间

图2：BP 图像重建

图3：ADMM 图像重建

其中ρ 为惩罚参数，λ 为平衡因子，用来控制两个式子之间的权重那么ADMM 第k 次迭代形式为：

θ，z，u 随着迭代逐次更新。

4 模型仿真验证

文章选取大小为512×512 的barbara 图像进行重建仿真验证。首先对图像进行模糊，添加高斯噪声，得到的模糊观测图像如图1所示。

基于ADMM 的压缩感知图像重建模型中参数设置为：ρ=1，平衡因子λ=15，选取常用的贪婪算法OMP 以及凸松弛方法BP 与文章提出的ADMM 算法模糊噪声图像重建进行对比，重建结果分别如图2、3 所示。表1 为OMP 以及ADMM 算法压缩感知图像重建的信噪比和重建时间。

对比图2、3 可以看出OMP 算法重建效果一般，而ADMM 算法重建效果最好，通过表1 对比可知，OMP 算法图像重建信噪比最低，但是重建时间短；文章提出的ADMM 压缩感知图像重建信噪比最高，并且重建耗时最短。

5 结论

文章提出了一种基于压缩感知理论的ADMM 算法图像重建模型，对比传统的压缩感知重建算法，ADMM 压缩感知图像重建性能更好，重建信噪比高、耗时短。具有重要的实际意义。另外，压缩感知图像重建以图像的稀疏性为前提，图像的稀疏表示对重建精度有很大影响，因此如何对图像进行更好的稀疏表示，是下一步的研究方向。