一类特殊双险种风险模型的Gerber-Shiu函数

侯致武， 乔克林， 陈 婷

(1.延安大学 西安创新学院 数据科学与计算机学院， 陕西 西安 710100；2.延安大学 数学与计算机科学学院， 陕西 延安 716000)

国内外学者不同程度地推广了经典风险模型。蔡高玉等[1]讨论了随机保费的Poisson风险模型，但没考虑利率；文献[2-3]研究了考虑利率但保费为常数的单险种风险模型;杨善兵等[4]研究了常利率下的两险种风险模型,但保费及其收取时刻都是固定的。而现实中保费率和保费收取都不再是固定的，考虑到单险种风险模型的局限性，乔克林等[5-6]建立了常利率下保费及保费收取时间随机且可能发生两类索赔的特殊双重保险的风险模型，讨论了破产赤字和破产概率上界等；侯致武等[7]进一步在各随机变量和随机过程为具体分布时，得到了该模型下破产前瞬间盈余的具体表达式和所满足的积分方程。GERBER H U等[8-9]给出的破产前瞬时盈余与破产赤字的期望折现罚金函数(即Gerber-Shiu函数)是风险理论研究的热点问题，利用它可以得到一些具体精算量；文献[10-11]讨论了常利率下保费固定且保费收取为时间的线性函数的风险模型的破产时刻罚金折现期望；王贵红等[12]对常利率下保费收入不再是时间的线性函数的双复合Poisson风险模型进行研究，得到了期望折现罚金函数满足的积分-微分方程。本文在此基础上继续研究文献[7]中风险模型的另一精算指标即Gerber-Shiu函数，由全期望公式和累进均值法则得到了Gerber-Shiu函数所满足的积分方程；在特殊情形下，利用Gerber-Shiu函数得到了该模型的破产概率、破产时赤字以及文献[7]中的破产前瞬间盈余等精算量的积分方程。

1 预备知识

定义1 当t≥0时，常利率下可能发生两类索赔的特殊双重险种复合泊松风险模型[7]为

定义2 破产前瞬间盈余Uδ(T-)和破产时赤字|Uδ(T)|的Gerber-Shiu期望折现罚金函数为

ψδ(u)=E[e-kTw(Uδ(T-),|Uδ(T)|)I(T<+∞)|Uδ(0)=u]，

其中k≥0，T=inf(t≥0;Uδ(t)<0)(当集合为空集时，T=+∞)为破产时刻，e-kT为折现因子；I(A)为示性函数(当A发生时，I(A)=1，否则I(A)=0)；破产时的罚金函数w(x,y)非负有界。

引理1[13]设{M(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生m次，则其到达时间K1

引理2[13]设{N(t),t≥0}是参数为λ2的泊松分布，{Yj,j≥1}是对应的时间间隔序列，则Yj(j=1,2,…,n)是独立同分布且均值为1/λ2的指数分布。

2 结果与证明

定理该模型下Gerber-Shiu函数ψδ(u)满足的积分方程为

证明由全期望公式、引理1、引理2及连续场合的累进均值法则得

ψδ(u)=E[e-kTw(Uδ(T-),|Uδ(T)|)I(T<+∞)|Uδ(0)=u]=

E{E[e-kTw(Uδ(T-),|Uδ(T)|)I(T<+∞)|Uδ(0)=u|Y1]}=

|U(1)=t1,…,U(m)=tm,Ci=x,D=z]αe-αxdH(z)dt1…dtmdxdt=

|Uδ(T)|)I(T<+∞)]e-αxdH(z)dt1…dtmdxdt=

证毕。

在特殊情形下，利用定理中的Gerber-Shiu函数，可以得到一些具体的精算指标。

(1)若k=0，w(x,y)=1，则破产概率φδ(u)满足的积分方程为

φδ(u)=P[I(T<+∞)|Uδ(0)=u]=

(2)若w(x,y)=1，则破产时的Laplace变换φδ(u)满足的积分方程为

φδ(u)=E[e-αTI(T<+∞)|Uδ(0)=u]=

(3)若k=0，w(x,y)=I(y≤v)，则破产时赤字φδ(u,v)满足的积分方程为

φδ(u,v)=P[|Uδ(T)|≤v,T<+∞|Uδ(0)=u)=

(4)若k=0，w(x,y)=I(x≤v)，则破产前瞬间盈余φδ(u,v)满足的积分方程为

φδ(u,v)=P(Uδ(T-)≤v,T<+∞|Uδ(0)=u)=

(5)若k=0，w(x,y)=I(x≤w)I(y≤v)，则破产前瞬间盈余和破产时赤字的联合分布φδ(u,w,v)满足的积分方程为

φδ(u,w,v)=P(Uδ(T-)≤w,|Uδ(T)|≤v,T<+∞|Uδ(0)=u)=

3 结 论

本文在特殊情形下，由Gerber-Shiu函数得出了文献[7]中的破产前瞬间盈余所满足的积分方程，以及一些描述保险公司风险的常用精算指标。可见，利用期望折现罚金函数得到风险模型精算量的方法较一般方法更为便捷。因此，Gerber-Shiu期望折现罚金函数在风险理论的研究中占有重要优势。